OSOBINE SABIRANJA VEKTORA:
[inlmath]\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\quad[/inlmath] (komutativnost)
[inlmath]\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\quad[/inlmath] (asocijativnost)
[inlmath]\vec a+\vec 0=\vec 0+\vec a=\vec a\quad[/inlmath] (neutralni element za sabiranje vektora – nula-vektor)
[inlmath]\vec a+\left(-\vec a\right)=\left(-\vec a\right)+\vec a=\vec 0\quad[/inlmath] (inverzni element za sabiranje – vektor jednak po intenzitetu i pravcu, a suprotan po smeru)
OSOBINE MNOŽENJA VEKTORA SKALAROM:
[dispmath]\left|\lambda\vec a\right)=\left|\lambda\right|\cdot\left|\vec a\right|\\
\lambda\left(\vec a+\vec b\right)=\lambda\vec a+\lambda\vec b\\
\left(\lambda+\mu\right)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a\\
\left(\lambda\mu\right)\vec a=\lambda\left(\mu\vec a\right)\\
1\cdot\vec a=\vec a\cdot 1=\vec a\\
\left(-1\right)\cdot\vec a=\vec a\cdot\left(-1\right)=-\vec a\\
0\cdot\vec a=\vec a\cdot 0=\vec 0[/dispmath]
RAZLAGANJE VEKTORA NA KOMPONENTE:
Slika levo – razlaganje vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] pomoću kvadra
Slika desno – razlaganje vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] pomoću projekcije na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan
[inlmath]\vec i[/inlmath], [inlmath]\vec j[/inlmath] i [inlmath]\vec k[/inlmath] su jedinični vektori (intenziteti su im [inlmath]1[/inlmath]), a pravci i smerovi im se poklapaju s pravcima i smerovima [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]-ose, respektivno.
[inlmath]p_x[/inlmath], [inlmath]p_y[/inlmath] i [inlmath]p_z[/inlmath] su [inlmath]x[/inlmath]-koordinata, [inlmath]y[/inlmath]-koordinata i [inlmath]z[/inlmath]-koordinata vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], respektivno.
[inlmath]p_x\vec i[/inlmath], [inlmath]p_y\vec j[/inlmath] i [inlmath]p_z\vec k[/inlmath] su [inlmath]x[/inlmath]-komponenta, [inlmath]y[/inlmath]-komponenta i [inlmath]z[/inlmath]-komponenta vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], respektivno.
[dispmath]\vec p=p_x\vec i+p_y\vec j+p_z\vec k[/dispmath] ili, skraćeni zapis:
[dispmath]\vec p=\langle p_x,p_y,p_z\rangle[/dispmath]
SKALARNI PROIZVOD:
[dispmath]\vec a\cdot\vec b\;\overset{\text{def}}{=\!=}\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
Skalarni proizvod predstavlja skalarnu veličinu.
OSOBINE SKALARNOG PROIZVODA:
[inlmath]\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\quad[/inlmath] (komutativnost)
[inlmath]\left(\vec a\cdot\vec b\right)\cdot\vec c\;\ne\;\vec a\cdot\left(\vec b\cdot\vec c\right)\quad[/inlmath] (asocijativnost ne važi u opštem slučaju)
[inlmath]\vec a\cdot\left(\vec b+\vec c\right)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c\quad[/inlmath] (distributivnost)
[inlmath]\lambda\left(\vec a\cdot\vec b\right)=\left(\lambda\vec a\right)\cdot\vec b=\vec a\cdot\left(\lambda\vec b\right)\quad[/inlmath] (homogenost)
[inlmath]\vec a\cdot\vec a\ge 0\quad[/inlmath] (nenegativnost)
[inlmath]\vec a^2=\vec a\cdot\vec a=\left|\vec a\right|^2[/inlmath]
[inlmath]\vec a\cdot\vec b=0\iff\vec a\perp\vec b\quad[/inlmath] (za [inlmath]\vec a,\vec b\ne\vec0[/inlmath])
[inlmath]\displaystyle\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|}[/inlmath]
RAČUNANJE SKALARNOG PROIZVODA PREKO KOMPONENATA VEKTORA:
[dispmath]\vec a=\left<a_x,a_y,a_z\right>,\quad\vec b=\left<b_x,b_y,b_z\right>\quad\Rightarrow\quad\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z[/dispmath]
VEKTORSKI PROIZVOD:
[dispmath]\left|\vec a\times\vec b\right|\overset{\text{def}}{=\!=}\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
Vektorski proizvod predstavlja vektorsku veličinu.
Pravac vektorskog proizvoda [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath] normalan je na ravan koju određuju vektori [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath], a smer je određen pravilom desnog zavrtnja od [inlmath]\vec a[/inlmath] ka [inlmath]\vec b[/inlmath].
Geometrijsko tumačenje: Intenzitet vektorskog proizvoda [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath] jednak je površini paralelograma konstruisanog nad vektorima [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath].
OSOBINE VEKTORSKOG PROIZVODA:
[inlmath]\vec a\times\vec b=-\left(\vec b\times\vec a\right)\quad[/inlmath] (antikomutativnost)
[inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\times\vec c\;\ne\;\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)\quad[/inlmath] (asocijativnost ne važi u opštem slučaju)
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
\vec a\times\left(\vec b+\vec c\right)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c\\
\left(\vec a+\vec b\right)\times\vec c=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c
\end{array}\right\}\quad[/inlmath] (distributivnost)
[inlmath]\lambda\left(\vec a\times\vec b\right)=\left(\lambda\vec a\right)\times\vec b=\vec a\times\left(\lambda\vec b\right)\quad[/inlmath] (homogenost)
[inlmath]\vec a\times\vec a=\vec 0[/inlmath]
[inlmath]\vec a\times\vec b=\vec 0\iff\vec a\parallel\vec b\quad[/inlmath] (za [inlmath]\vec a,\vec b\ne\vec0[/inlmath])
[inlmath]\displaystyle\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)=\frac{\left|\vec a\times\vec b\right|}{\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|}[/inlmath]
RAČUNANJE VEKTORSKOG PROIZVODA PREKO KOMPONENATA VEKTORA:
[dispmath]\vec a=\left<a_x,a_y,a_z\right>,\quad\vec b=\left<b_x,b_y,b_z\right>\quad\Rightarrow\quad\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}[/dispmath]
MEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA:
[dispmath]M\left(\vec a,\:\vec b,\:\vec c\right)\overset{\text{def}}{=\!=}\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c[/dispmath]
Mešoviti proizvod predstavlja skalarnu veličinu.
Geometrijsko tumačenje: Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c[/inlmath] jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath].
OSOBINE MEŠOVITOG PROIZVODA:
[inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left(\vec b\times\vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec c\times\vec a\right)\cdot\vec b=M\left(\vec a,\:\vec b,\:\vec c\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(\vec b\times\vec a\right)\cdot\vec c=\left(\vec a\times\vec c\right)\cdot\vec b=\left(\vec c\times\vec b\right)\cdot\vec a=-M\left(\vec a,\:\vec b,\:\vec c\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(\alpha\vec a\times\beta\vec b\right)\cdot\gamma\vec c=\alpha\beta\gamma\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c[/inlmath]
[inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=0\iff\vec a,\:\vec b,\:\vec c\:[/inlmath] komplanarni [inlmath]\quad[/inlmath] (za [inlmath]\vec a,\vec b,\vec c\ne\vec0[/inlmath])
RAČUNANJE MEŠOVITOG PROIZVODA PREKO KOMPONENATA VEKTORA:
[dispmath]\vec a=\left<a_x,a_y,a_z\right>,\quad\vec b=\left<b_x,b_y,b_z\right>,\quad\vec c=\left<b_x,b_y,b_z\right>\quad\Rightarrow\quad\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left|\begin{matrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{matrix}\right|[/dispmath]
DVOSTRUKI VEKTORSKI PROIZVOD TRI VEKTORA:
[dispmath]\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)=\vec b\cdot\left(\vec a\cdot\vec c\right)-\vec c\cdot\left(\vec a\cdot\vec b\right)[/dispmath]
Dvostruki vektorski proizvod predstavlja vektorsku veličinu.
[inlmath]\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\quad[/inlmath] (komutativnost)
[inlmath]\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\quad[/inlmath] (asocijativnost)
[inlmath]\vec a+\vec 0=\vec 0+\vec a=\vec a\quad[/inlmath] (neutralni element za sabiranje vektora – nula-vektor)
[inlmath]\vec a+\left(-\vec a\right)=\left(-\vec a\right)+\vec a=\vec 0\quad[/inlmath] (inverzni element za sabiranje – vektor jednak po intenzitetu i pravcu, a suprotan po smeru)
OSOBINE MNOŽENJA VEKTORA SKALAROM:
[dispmath]\left|\lambda\vec a\right)=\left|\lambda\right|\cdot\left|\vec a\right|\\
\lambda\left(\vec a+\vec b\right)=\lambda\vec a+\lambda\vec b\\
\left(\lambda+\mu\right)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a\\
\left(\lambda\mu\right)\vec a=\lambda\left(\mu\vec a\right)\\
1\cdot\vec a=\vec a\cdot 1=\vec a\\
\left(-1\right)\cdot\vec a=\vec a\cdot\left(-1\right)=-\vec a\\
0\cdot\vec a=\vec a\cdot 0=\vec 0[/dispmath]
RAZLAGANJE VEKTORA NA KOMPONENTE:
Slika levo – razlaganje vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] pomoću kvadra
Slika desno – razlaganje vektora [inlmath]\vec p[/inlmath] pomoću projekcije na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan
[inlmath]\vec i[/inlmath], [inlmath]\vec j[/inlmath] i [inlmath]\vec k[/inlmath] su jedinični vektori (intenziteti su im [inlmath]1[/inlmath]), a pravci i smerovi im se poklapaju s pravcima i smerovima [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]-ose, respektivno.
[inlmath]p_x[/inlmath], [inlmath]p_y[/inlmath] i [inlmath]p_z[/inlmath] su [inlmath]x[/inlmath]-koordinata, [inlmath]y[/inlmath]-koordinata i [inlmath]z[/inlmath]-koordinata vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], respektivno.
[inlmath]p_x\vec i[/inlmath], [inlmath]p_y\vec j[/inlmath] i [inlmath]p_z\vec k[/inlmath] su [inlmath]x[/inlmath]-komponenta, [inlmath]y[/inlmath]-komponenta i [inlmath]z[/inlmath]-komponenta vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], respektivno.
[dispmath]\vec p=p_x\vec i+p_y\vec j+p_z\vec k[/dispmath] ili, skraćeni zapis:
[dispmath]\vec p=\langle p_x,p_y,p_z\rangle[/dispmath]
SKALARNI PROIZVOD:
[dispmath]\vec a\cdot\vec b\;\overset{\text{def}}{=\!=}\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
Skalarni proizvod predstavlja skalarnu veličinu.
OSOBINE SKALARNOG PROIZVODA:
[inlmath]\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\quad[/inlmath] (komutativnost)
[inlmath]\left(\vec a\cdot\vec b\right)\cdot\vec c\;\ne\;\vec a\cdot\left(\vec b\cdot\vec c\right)\quad[/inlmath] (asocijativnost ne važi u opštem slučaju)
[inlmath]\vec a\cdot\left(\vec b+\vec c\right)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c\quad[/inlmath] (distributivnost)
[inlmath]\lambda\left(\vec a\cdot\vec b\right)=\left(\lambda\vec a\right)\cdot\vec b=\vec a\cdot\left(\lambda\vec b\right)\quad[/inlmath] (homogenost)
[inlmath]\vec a\cdot\vec a\ge 0\quad[/inlmath] (nenegativnost)
[inlmath]\vec a^2=\vec a\cdot\vec a=\left|\vec a\right|^2[/inlmath]
[inlmath]\vec a\cdot\vec b=0\iff\vec a\perp\vec b\quad[/inlmath] (za [inlmath]\vec a,\vec b\ne\vec0[/inlmath])
[inlmath]\displaystyle\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|}[/inlmath]
RAČUNANJE SKALARNOG PROIZVODA PREKO KOMPONENATA VEKTORA:
[dispmath]\vec a=\left<a_x,a_y,a_z\right>,\quad\vec b=\left<b_x,b_y,b_z\right>\quad\Rightarrow\quad\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z[/dispmath]
VEKTORSKI PROIZVOD:
[dispmath]\left|\vec a\times\vec b\right|\overset{\text{def}}{=\!=}\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/dispmath]
Vektorski proizvod predstavlja vektorsku veličinu.
Pravac vektorskog proizvoda [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath] normalan je na ravan koju određuju vektori [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath], a smer je određen pravilom desnog zavrtnja od [inlmath]\vec a[/inlmath] ka [inlmath]\vec b[/inlmath].
Geometrijsko tumačenje: Intenzitet vektorskog proizvoda [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath] jednak je površini paralelograma konstruisanog nad vektorima [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath].
OSOBINE VEKTORSKOG PROIZVODA:
[inlmath]\vec a\times\vec b=-\left(\vec b\times\vec a\right)\quad[/inlmath] (antikomutativnost)
[inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\times\vec c\;\ne\;\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)\quad[/inlmath] (asocijativnost ne važi u opštem slučaju)
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
\vec a\times\left(\vec b+\vec c\right)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c\\
\left(\vec a+\vec b\right)\times\vec c=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c
\end{array}\right\}\quad[/inlmath] (distributivnost)
[inlmath]\lambda\left(\vec a\times\vec b\right)=\left(\lambda\vec a\right)\times\vec b=\vec a\times\left(\lambda\vec b\right)\quad[/inlmath] (homogenost)
[inlmath]\vec a\times\vec a=\vec 0[/inlmath]
[inlmath]\vec a\times\vec b=\vec 0\iff\vec a\parallel\vec b\quad[/inlmath] (za [inlmath]\vec a,\vec b\ne\vec0[/inlmath])
[inlmath]\displaystyle\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)=\frac{\left|\vec a\times\vec b\right|}{\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|}[/inlmath]
RAČUNANJE VEKTORSKOG PROIZVODA PREKO KOMPONENATA VEKTORA:
[dispmath]\vec a=\left<a_x,a_y,a_z\right>,\quad\vec b=\left<b_x,b_y,b_z\right>\quad\Rightarrow\quad\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}[/dispmath]
MEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA:
[dispmath]M\left(\vec a,\:\vec b,\:\vec c\right)\overset{\text{def}}{=\!=}\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c[/dispmath]
Mešoviti proizvod predstavlja skalarnu veličinu.
Geometrijsko tumačenje: Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c[/inlmath] jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima [inlmath]\vec a[/inlmath], [inlmath]\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath].
OSOBINE MEŠOVITOG PROIZVODA:
[inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left(\vec b\times\vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec c\times\vec a\right)\cdot\vec b=M\left(\vec a,\:\vec b,\:\vec c\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(\vec b\times\vec a\right)\cdot\vec c=\left(\vec a\times\vec c\right)\cdot\vec b=\left(\vec c\times\vec b\right)\cdot\vec a=-M\left(\vec a,\:\vec b,\:\vec c\right)[/inlmath]
[inlmath]\left(\alpha\vec a\times\beta\vec b\right)\cdot\gamma\vec c=\alpha\beta\gamma\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c[/inlmath]
[inlmath]\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=0\iff\vec a,\:\vec b,\:\vec c\:[/inlmath] komplanarni [inlmath]\quad[/inlmath] (za [inlmath]\vec a,\vec b,\vec c\ne\vec0[/inlmath])
RAČUNANJE MEŠOVITOG PROIZVODA PREKO KOMPONENATA VEKTORA:
[dispmath]\vec a=\left<a_x,a_y,a_z\right>,\quad\vec b=\left<b_x,b_y,b_z\right>,\quad\vec c=\left<b_x,b_y,b_z\right>\quad\Rightarrow\quad\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c=\left|\begin{matrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{matrix}\right|[/dispmath]
DVOSTRUKI VEKTORSKI PROIZVOD TRI VEKTORA:
[dispmath]\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)=\vec b\cdot\left(\vec a\cdot\vec c\right)-\vec c\cdot\left(\vec a\cdot\vec b\right)[/dispmath]
Dvostruki vektorski proizvod predstavlja vektorsku veličinu.