Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEKTORI

Zapremina paralelopipeda

[inlmath]\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath]

Zapremina paralelopipeda

Postod Drazenko5 » Sreda, 27. Septembar 2017, 14:55

Zadatak glasi: Duzine baznih vektora [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath], [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath] su redom [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]\sqrt2[/inlmath], a uglovi izmedju njih su: [inlmath]\angle\left(\vec{b_1},\vec{b_2}\right)=120^\circ[/inlmath], [inlmath]\angle\left(\vec{b_1},\vec{b_3}\right)=45^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle\left(\vec{b_2},\vec{b_3}\right)=135^\circ[/inlmath]. Izracunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima koji po datoj bazi imaju koordinate [inlmath](-1,0,2)[/inlmath], [inlmath](1,1,3)[/inlmath] i [inlmath](2,-1,1)[/inlmath].

Pokusavao sam da raspisem ovaj mjesoviti proizvod vektora, pa me interesuje da li moze da se stavi npr. da je [inlmath]\vec{b_1}\times\vec{b_2}=\left|\vec{b_1}\right|\cdot\left|\vec{b_2}\right|\sin\angle\left(\vec{b_1},\vec{b_2}\right)\cdot\vec{b_3}\cdot\cos45^\circ[/inlmath], tj da se vektor [inlmath]\vec{b_1}\times\vec{b_2}[/inlmath] izrazi preko vektora [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath], i tako redom, ili mozda postoji neki laksi nacin da se izracuna ova zapremina?
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 03. Oktobar 2017, 14:26, izmenjena 2 puta
Razlog: Korekcija Latexa
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zapremina paralelopipeda

Postod miletrans » Sreda, 27. Septembar 2017, 20:09

Dobra ti je ideja, samo je nisi na pravi način zapisao. Zapremina paralelopipeda nam odmah "miriše" na mešoviti proizvod vektora. Odrediš vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] i onda odrediš skalarni proizvod tog novog vektora sa [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath]. Ne verujem da može lakše. U ovom zadatku su ti čak i uglovi "tablični", pa nemaš problem da odrediš sinus i kosinus.
Globalni moderator
 
Postovi: 287
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 302 puta

  • +1

Re: Zapremina paralelopipeda

Postod bobanex » Sreda, 27. Septembar 2017, 20:25

Mislim da se ne traži zapremina paralelopipeda koji grade ta tri vektora koja si pomenuo, već druga tri koja su data koordinatama.
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 496 puta

Re: Zapremina paralelopipeda

Postod Drazenko5 » Sreda, 27. Septembar 2017, 21:48

Zapremina se trazi za ova 3 vektora sa koordinatama, ali mene buni kako vektorski proizvod [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] da izrazim preko vektora [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath] jer [inlmath]\vec{b_3}[/inlmath] nije normalan na [inlmath]\vec{b_1}\times\vec{b_2}[/inlmath].
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Zapremina paralelopipeda

Postod ubavic » Nedelja, 01. Oktobar 2017, 17:55

Možda može i jednostavnije, ali ja bih ovako pokušao:

Date su ti dužine vektora i uglovi između njih, pa znaš i skalarne proizvode. Dati sistem vektora ortonormiraš Gram-Šmitovim postupkom, a zatim nađeš koordinate vektora koji razapinju dati paralelopiped u novoj bazi. Tada je lako naći zapreminu, jer je nova baza ortonormirana.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 541
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 350 puta
Pohvaljen: 530 puta

  • +1

Re: Zapremina paralelopipeda

Postod Daniel » Ponedeljak, 02. Oktobar 2017, 17:38

Možda malo intuitivniji način od Gram-Šmita bio bi da, nakon raspisivanja mešovitog proizvoda, postavimo sistem jednačina. Ako nisam nigde omašio u računu, trebalo bi da se dobije da je apsolutna vrednost mešovitog proizvoda vektora koji razapinju paralelepiped jednaka [inlmath]10\left|\left(\vec{b_1}\times\vec{b_2}\right)\vec{b_3}\right|[/inlmath].
Vektor [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] možemo postaviti na [inlmath]x[/inlmath]-osu nove, ortonormirane baze (kao, uostalom, i kod Gram-Šmitovog postupka), a pošto mu je intenzitet [inlmath]1[/inlmath], njegove koordinate u novoj ortonormiranoj bazi biće [inlmath]\left<1,0,0\right>[/inlmath].
Vektor [inlmath]\vec{b_2}[/inlmath] postavljamo u [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan ortonormirane baze, pa će njegove koordinate biti [inlmath]\left<b_{2x},b_{2y},0\right>[/inlmath].
Sada imamo pet nepoznatih, [inlmath]b_{2x}[/inlmath], [inlmath]b_{2y}[/inlmath], [inlmath]b_{3x}[/inlmath], [inlmath]b_{3y}[/inlmath] i [inlmath]b_{3z}[/inlmath], pa postavljamo sistem od pet jednačina, koje dobijamo na osnovu datih intenziteta i datih uglova između vektora:
[dispmath]\left|\vec{b_2}\right|=2\quad\Longrightarrow\quad b_{2x}^2+b_{2y}^2=4\\
\left|\vec{b_3}\right|=\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad b_{3x}^2+b_{3y}^2+b_{3z}^2=2\\
\vec{b_1}\vec{b_2}=2\cos120^\circ\quad\Longrightarrow\quad b_{2x}=-1\\
\vec{b_1}\vec{b_3}=\sqrt2\cos45^\circ\quad\Longrightarrow\quad b_{3x}=1\\
\vec{b_2}\vec{b_3}=2\sqrt2\cos135^\circ\quad\Longrightarrow\quad b_{2x}b_{3x}+b_{2y}b_{3y}=-2[/dispmath] Rešavanjem ovog sistema dobije se [inlmath]\vec{b_2}=\left<-1,\sqrt3,0\right>[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_3}=\left<1,-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{3}\right>[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Zapremina paralelopipeda

Postod ubavic » Utorak, 03. Oktobar 2017, 10:44

Super :)
Setio sam se da može i samo da se izračuna Gramova determinanta sistema. Drugi načini su možda malo manje računski zahtevni, ali metoda sa gramijanom se lako uopštava.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 541
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 350 puta
Pohvaljen: 530 puta


Povratak na VEKTORI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 19. Februar 2020, 17:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs