Potencijalno polje
Poslato: Sreda, 18. April 2018, 10:26
Ispitajte je li vektorsko polje
[dispmath]F(x,y,z)=\left(3x^2z-\cos y,\;x\sin y,\;x^3\right)[/dispmath] potencijalno polje. Ako jest, odredite mu potencijal.
Za potencijalno polje znam da rotacija treba biti jednaka [inlmath]0[/inlmath]. Izračunala sam i dobila da je rotacije od zadane funkcije [inlmath]0[/inlmath].
Ovaj izračun potencijala mi nije baš jasan. Ja san to ovako, ali ne znam je li dobro, pa ako može mala pomoć
[dispmath]\vec F=\nabla U=\left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\right)\\
\frac{\partial U}{\partial x}=3x^2z-\cos y\\
\frac{\partial U}{\partial y}=x\sin y\\
\frac{\partial U}{\partial z}=x^3\\
U(x,y,z)=\int\left(3x^2z-\cos y\right)\mathrm dx\\
=x^3z-\cos yx+c(y,z)\\
\frac{\partial U}{\partial y}=x\sin y+\frac{\partial c(y,z)}{\partial y}\\
x\sin y=x\sin y+\frac{\partial c(y,z)}{\partial y}\\
\frac{\partial c(y,z)}{\partial y}=0\\
c(y,z)=\int0\,\mathrm dy=0+c(z)\\
U(x,y,z)=x^3z-\cos yx+c(z)\\
\frac{\partial U}{\partial z}=x^3+\frac{\partial c(z)}{\partial z}\\
\frac{\partial c(z)}{\partial z}=0\\
c(z)=\int0\,\mathrm dz=0+k\\
U(x,y,z)=x^3z-\cos yx+k[/dispmath] i ovo dobijem kao rješenje, ali ne znam da li je to ono što se traži (potencijal)
[dispmath]F(x,y,z)=\left(3x^2z-\cos y,\;x\sin y,\;x^3\right)[/dispmath] potencijalno polje. Ako jest, odredite mu potencijal.
Za potencijalno polje znam da rotacija treba biti jednaka [inlmath]0[/inlmath]. Izračunala sam i dobila da je rotacije od zadane funkcije [inlmath]0[/inlmath].
Ovaj izračun potencijala mi nije baš jasan. Ja san to ovako, ali ne znam je li dobro, pa ako može mala pomoć
[dispmath]\vec F=\nabla U=\left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\right)\\
\frac{\partial U}{\partial x}=3x^2z-\cos y\\
\frac{\partial U}{\partial y}=x\sin y\\
\frac{\partial U}{\partial z}=x^3\\
U(x,y,z)=\int\left(3x^2z-\cos y\right)\mathrm dx\\
=x^3z-\cos yx+c(y,z)\\
\frac{\partial U}{\partial y}=x\sin y+\frac{\partial c(y,z)}{\partial y}\\
x\sin y=x\sin y+\frac{\partial c(y,z)}{\partial y}\\
\frac{\partial c(y,z)}{\partial y}=0\\
c(y,z)=\int0\,\mathrm dy=0+c(z)\\
U(x,y,z)=x^3z-\cos yx+c(z)\\
\frac{\partial U}{\partial z}=x^3+\frac{\partial c(z)}{\partial z}\\
\frac{\partial c(z)}{\partial z}=0\\
c(z)=\int0\,\mathrm dz=0+k\\
U(x,y,z)=x^3z-\cos yx+k[/dispmath] i ovo dobijem kao rješenje, ali ne znam da li je to ono što se traži (potencijal)