Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Monotonost

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Monotonost

Postod tanganjika » Utorak, 06. Februar 2018, 19:07

Pozdrav, trebala bi mi pomoc oko pronalaženja monotonosti:
[dispmath]f(x)=x\cdot\ln\frac{x}{x-1}[/dispmath] Na kraju dobijem izvod
[dispmath]f'(x)=\frac{\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)\cdot(x-1)-1}{x-1}[/dispmath] E sad uopšte ne znam kako bih odredio nule, a gde raste i pada. Hvala unapred za pomoc :D
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 07. Februar 2018, 12:11, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa: * u \cdot i ln u \ln
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Monotonost

Postod Nađa » Sreda, 07. Februar 2018, 08:54

Meni prvi izvod ne ispada kao i tebi, evo sta sam ja dobila...
[dispmath]f'(x)=\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)-\frac{1}{x-1}[/dispmath] Nule i nemas u ovoj funkciji. Domen funkcije je [inlmath](-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/inlmath].
Mislim da je funkcija stalno rastuca.
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 246
Zahvalio se: 133 puta
Pohvaljen: 88 puta

Re: Monotonost

Postod Daniel » Sreda, 07. Februar 2018, 12:12

@Nađa
Isti taj izvod je i tanganjika dobio.
Da, to je taj domen.
Nije stalno rastuća.

@tanganjika
Pošto je, dakle, domen [inlmath](-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/inlmath], možeš posmatrati odvojeno slučaj [inlmath]x\in(-\infty,0)[/inlmath] i slučaj [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath].
Npr. za slučaj [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath] imenilac je uvek pozitivan, a što se tiče brojioca,
[dispmath](x-1)\ln\frac{x}{x-1}-1=\ln\left(\frac{x-1+1}{x-1}\right)^{x-1}-1=\ln\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{x-1}-1[/dispmath] Smenom [inlmath]x-1=t,\;t\in(0,+\infty)[/inlmath] dobijamo [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)^t-1[/inlmath], pri čemu znamo da je funkcija [inlmath]\left(1+\frac{1}{t}\right)^t[/inlmath] monotono rastuća za [inlmath]t\in(0,+\infty)[/inlmath] i da joj je limes u pozitivnoj beskonačnosti jednak [inlmath]e[/inlmath], što znači da je vrednost te funkcije na intervalu [inlmath](0,+\infty)[/inlmath] uvek manja od [inlmath]e[/inlmath]. A pošto je [inlmath]\ln[/inlmath] monotono rastuća funkcija, to će i [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)^t[/inlmath] biti monotono rastuća i uvek manja od [inlmath]\ln e[/inlmath], tj. manja od [inlmath]1[/inlmath].
Prema tome, brojilac [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{x-1}-1[/inlmath] uvek je na intervalu [inlmath](1,+\infty)[/inlmath] manji od nule, a pošto je imenilac na tom intervalu pozitivan, zaključujemo da je prvi izvod na tom intervalu uvek manji od nule, što znači da je funkcija na tom intervalu monotono opadajuća.

Za slučaj [inlmath]x\in(-\infty,0)[/inlmath] pogodno je uzeti smenu [inlmath]-(x-1)=t,\;t\in(1,+\infty)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 6829
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3560 puta
Pohvaljen: 3747 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 24. Februar 2018, 03:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs