Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod salesh » Petak, 20. Jun 2014, 18:14

[dispmath]f(x)=\ln\left(\frac{2x-1}{x+1}\right)[/dispmath]
Pozdrav da li neko moze da pogleda ovaj zadatak ?
Narocito mi je bitan deo sa vertikalnim asimtotama i horizontalnim za koje bas nisam siguran..


Veliko hvala i pozdrav
salesh
salesh  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Daniel » Petak, 20. Jun 2014, 22:53

Ajd napiši to što nisi siguran pa ćemo ti reći valja li ili ne... :)

Uglavnom, vertikalne asimptote tražiš na granicama oblasti definisanosti... Znači, prvo odrediš intervale definisanosti, uzimajući u obzir uslov različitosti imenioca od nule, kao i uslov pozitivnosti argumenta logaritma.

Nalaženje horizontalnih asimptota ti je sasvim jednostavno – samo pustiš da [inlmath]n\to -\infty[/inlmath] (za levu), odnosno [inlmath]n\to +\infty[/inlmath] (za desnu).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod salesh » Subota, 21. Jun 2014, 08:20

prvi deo
drugi deo
Evo kako sam ja uradio huh cini mi se da bas nije dobro al ono...
salesh  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +2

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Daniel » Subota, 21. Jun 2014, 21:30

Većina stvari je OK. Ovde ću ti skrenuti pažnju na ono gde si izgrešio, kao i na ono što mi se čini sporno. Znači, sve ono što nisam spomenuo, to ti je ispravno.

Nule i znak:
Dobio si da je u intervalu [inlmath]\left(-1,2\right)[/inlmath] vrednost funkcije negativna. Međutim, treba da vodiš računa o tome da nije u celom tom intervalu funkcija definisana. Oblast definisanosti si odredio na samom početku i dobio si da funkcija nije definisana u intervalu [inlmath]\left[-1,\frac{1}{2}\right][/inlmath], tako da se interval u kojem je vrednost funkcije negativna svodi na [inlmath]\left(\frac{1}{2},2\right)[/inlmath].

Ipak, ovo bi bilo pravilnije raditi ovako:
[dispmath]\ln\frac{2x-1}{x+1}<0\quad\Rightarrow\quad 0<\frac{2x-1}{x+1}<1\quad\Rightarrow\quad x\in\left(\frac{1}{2},2\right)[/dispmath][dispmath]\ln\frac{2x-1}{x+1}>0\quad\Rightarrow\quad\frac{2x-1}{x+1}>1\quad\Rightarrow\quad x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/dispmath]
Vertikalne asimptote:
Nije bilo potrebe da tražiš asimptote u onim oblastima u kojima funkcija nije definisana. Znači, [inlmath]\lim\limits_{x\to -1^+}[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{{x\to\frac{1}{2}}^-}[/inlmath] su suvišni, tj. ne postoji smisao određivanja tih limesa.
Kod određivanja [inlmath]\lim\limits_{x\to -1^-}[/inlmath] imaš grešku, ne dobija se [inlmath]-\infty[/inlmath], već [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ispravno si napisao da je taj limes jednak [inlmath]\frac{-3}{0^-}[/inlmath], ali da dva minusa, u brojicu i u imeniocu, ne daju minus, već daju plus. Dakle, to je jednako [inlmath]+\infty[/inlmath].
Sličnu grešku si napravio i pri određivanju [inlmath]\lim\limits_{x\to -1^+}[/inlmath], ali, kao što rekoh, taj limes i nema smisla određivati.
[dispmath]\lim_{{x\to\frac{1}{2}}^+}\ln\frac{2x-1}{x+1}=\ln\frac{0^+}{\frac{3}{2}}=\ln 0^+=-\infty[/dispmath]
Horizontalne asimptote:
[dispmath]\lim_{x\to\pm\infty}\ln\frac{2x-1}{x+1}[/dispmath]
Da, u principu može i pomoću Lopitala, jer su ispunjeni uslovi za to – i brojilac i imenilac teže beskonačnosti i postoji limes količnika njihovih izvoda:
[dispmath]\lim_{x\to\pm\infty}\ln\frac{2x-1}{x+1}=\ln\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{x+1}=\ln\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\left(2x-1\right)'}{\left(x+1\right)'}=\ln\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{1}=\ln 2[/dispmath]
ali, može vrlo lako i bez Lopitala, tako što i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to\pm\infty}\ln\frac{2x-1}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\ln\frac{2-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}=\ln 2[/dispmath]
Pošto smo za [inlmath]\lim\limits_{x\to\pm\infty}\ln\frac{2x-1}{x+1}[/inlmath] dobili samo jednu vrednost, bez račvanja na slučajeve za [inlmath]-\infty[/inlmath] i za [inlmath]+\infty[/inlmath], to znači da je [inlmath]\lim\limits_{x\to -\infty}\ln\frac{2x-1}{x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\ln\frac{2x-1}{x+1}[/inlmath].

Monotonost:
Pogrešno si odredio prvi izvod. Ispravno si došao do koraka
[dispmath]\frac{\cancel{x+1}}{2x-1}\cdot\frac{\left(2x-1\right)'\cdot\left(x+1\right)-\left(x+1\right)'\cdot\left(2x-1\right)}{\left(x+1\right)^{\cancel 2}}[/dispmath]
ali se to u sledećem koraku ne svodi na
[dispmath]\frac{2x+1-2x+1}{\left(2x-1\right)\cdot\left(x+1\right)}[/dispmath]
već na
[dispmath]\frac{2\left(x+1\right)-2x+1}{\left(2x-1\right)\cdot\left(x+1\right)}[/dispmath]
i kao prvi izvod se dobije
[dispmath]\left(\ln\frac{2x-1}{x+1}\right)'=\frac{\color{red}3}{\left(2x-1\right)\cdot\left(x+1\right)}[/dispmath]
Istina, ova greška nema uticaja na određivanje znaka izvoda (mada će imati uticaja kasnije na određivanje drugog izvoda), a samim tim ni na određivanje intervala monotonosti. Međutim, i ovde si napravio propust kao i pri određivanju znaka funkcije, jer nisi vodio računa o oblastima definisanosti funkcije. Funkcija nije definisana u intervalu [inlmath]\left(-1,\frac{1}{2}\right)[/inlmath], u kojem si dobio da je ona opadajuća, prema tome, funkcija će biti rastuća u celoj svojoj oblasti definisanosti.

Konkavnost i prevojne tačke:
Opet ista greška. Može li [inlmath]x=-\frac{1}{4}[/inlmath] biti prevojna tačka ako funkcija nije definisana u intervalu [inlmath]\left[-1,\frac{1}{2}\right][/inlmath]? :)

Inače, zbog prethodne greške u traženju prvog izvoda, s onom dvojkom umesto trojke, dobio si, naravno, i pogrešan drugi izvod.
Drugi izvod i ne moraš raditi preko izvoda količnika funkcija. Pošto je prvi izvod jednak [inlmath]\frac{3}{\left(2x-1\right)\cdot\left(x+1\right)}[/inlmath], to jest [inlmath]\frac{3}{2x^2+x-1}[/inlmath], možeš ga napisati kao [inlmath]3\left(2x^2+x-1\right)^{-1}[/inlmath] pa od njega tražiti drugi izvod kao izvod složene funkcije:
[dispmath]\left[3\left(2x^2+x-1\right)^{-1}\right]'=3\left[\left(2x^2+x-1\right)^{-1}\right]'=-3\left(2x^2+x-1\right)^{-2}\left(2x^2+x-1\right)'=\cdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod salesh » Sreda, 02. Jul 2014, 15:54

Veliko ti hvala za sve greske koje si mi ukazao na zalost te greske sam bas i na ispitu ponovio pa se sa bas i nisam proslavio , sobzirom da je slika kljucna kod moje profesorke cak i delimicne stvari koje sam uradio nisu pomogle inace funkcija je bila [inlmath]\sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}}[/inlmath] tu sam prvo zeznuo jer znao sam pravilo da je uslov [inlmath]\geq 0[/inlmath] al opet zaboravio sam da cak i posle toga [inlmath]x[/inlmath] se nalazi ispod razlomka i da ne sme biti [inlmath]0[/inlmath] dosta stvari sam dalje znao da uradim al tu me je domen vec zeznuo , konveksnost drugi izvod me je bas ubio pa sa m odustao :) Isto tako trebao je da se odredi neki ugao ulazka za koji sam prvi put tada cuo :D
Idalje mi je problem kod tog pronalazenja V.A H.A i kosih kad trebam da ubacijem te [inlmath]0+[/inlmath] i [inlmath]0-[/inlmath] obicno ne znam da sredim...
Ona je naprimer ovaj zadatak razvila na pocetku i vec imala kosu asimptotu...
Isto tako ovo mi idalje nije jasno



[dispmath]\bullet\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+4^x\right)}=\:„\frac{\infty}{\infty}“\:=^L\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{1+3^x}\cdot 3^x\cdot\ln 3}{\frac{1}{1+4^x}\cdot 4^x\cdot\ln 4}=\frac{\ln 3}{\ln 4}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{\enclose{circle}{\frac{3^x}{1+3^x}}^{\nearrow^1}}{\enclose{circle}{\frac{4^x}{1+4^x}}_{\searrow_1}}=\frac{\ln 3}{\ln 4}[/dispmath]
[inlmath]\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{3^x}{1+3^x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\enclose{circle}{\frac{3^x+1}{3^x+1}}_{\searrow_1}-\enclose{circle}{\frac{1}{3^x+1}}_{\searrow_{„\frac{1}{\infty}“=0}}\right)=1[/inlmath]
[dispmath]\bullet\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+4^x\right)}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\cancelto{1}{\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{3^x}}\cdot 3^x}{\cancelto{1}{\frac{\ln\left(1+4^x\right)}{4^x}}\cdot 4^x}=\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^x=\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^x=+\infty[/dispmath]


zasto +beskonacno na onaj nacin a ovo na drugi nacin ??

Imam jos jedno pitanje al njega cu staviti na temi u kojoj smo debatovali o kovergenciji niza

Veliki pozdrav ! :)
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 02. Jul 2014, 16:50, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prekucavanje zadatka sa slike u Latex
salesh  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Daniel » Sreda, 02. Jul 2014, 17:26

Šteta zbog traljavo urađenog ispita. :(

salesh je napisao:zasto +beskonacno na onaj nacin a ovo na drugi nacin ??

Zato što u izrazu figuriše eksponencijalna funkcija, a ona se sasvim različito ponaša u [inlmath]-\infty[/inlmath] i u [inlmath]+\infty[/inlmath].
Za [inlmath]a>1[/inlmath], biće [inlmath]\lim\limits_{x\to -\infty}a^x=0[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to +\infty}a^x=+\infty[/inlmath].
Za [inlmath]0<a<1[/inlmath], biće [inlmath]\lim\limits_{x\to -\infty}a^x=+\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to +\infty}a^x=0[/inlmath].
Možeš pogledati i animaciju eksponencijalne funkcije s objašnjenjima.

Zbog toga je neophodno posebno tražiti svaki od ta dva limesa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 11:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs