-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
ubavic za post:
Daniel
Reputacija: 4.55%
od ubavic » Utorak, 03. Februar 2015, 10:39
Postoji takva formula. Mislim da je i Srki zna, samo želi da troluje. Izvešću je ovde:
Uzmimo realnu funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] takvu da su [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]f\:'(x)[/inlmath] neprekidni na intervalu [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath]. Dužina grafa [inlmath]s[/inlmath] funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] između tačaka [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] može se dobiti na sledeći način:
Razmatrajmo infinitezimalnu veličinu [inlmath]\mathrm ds[/inlmath]. Koristeći Pitagorinu teoremu dobijamo [inlmath]\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2[/inlmath], što možemo napisati u pogodnijem obliku:
[dispmath]\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\\
\frac{\mathrm ds^2}{\mathrm dx^2}=1+\frac{\mathrm dy^2}{\mathrm dx^2}\\
\frac{\mathrm ds}{\mathrm dx}=\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2}\\
\mathrm ds=\sqrt{1+\left(f\:'(x)\right)^2}\mathrm dx[/dispmath]
Integracijom dobijamo konačnu formulu:
[dispmath]s=\int\limits_a^b\sqrt{1+\left(f\:'(x)\right)^2}\mathrm dx[/dispmath]