Imam greške u ispitivanju osobina funkcije
[dispmath]f(x)=xe^{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}}[/dispmath]
Osobine koje ispitujem su: domen, parnost, nule, asimptote, ekstremi, prevojne tačke.
1. [inlmath]D=\mathbb{R},\;x\neq0[/inlmath]
2. [inlmath]f(x)[/inlmath] je neparna
3. [inlmath]f(x)[/inlmath] nema nule
4. 4.1. V.A.
Rešavao sam V.A. preko Maklorenovog reda za [inlmath]e^x[/inlmath] i
[dispmath]\lim_{x\to0^+}\frac{3x^2-1}{2x}=-\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to0^-}\frac{3x^2-1}{2x}=+\infty[/dispmath]
Odavde mi je V.A. [inlmath]x=0[/inlmath] što nije tačno jer sam proverio grafik u Wolfram-Alphi
[inlmath]\quad[/inlmath]4.2. H.A.
Rešavao sam H.A. preko jednakosti [inlmath]u^v=e^{v\ln u},\;u>0[/inlmath],
[dispmath]u=e,\;v=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2x^2}=\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je H.A [inlmath]y=e^{\frac{1}{2}}[/inlmath]. To opet nije tačno što se može videti na grafiku.
[inlmath]\quad[/inlmath]4.3. K.A.
[inlmath]f(x)[/inlmath] nema kosu asimptotu.
[inlmath]\;\;[/inlmath]5. Ekstremi funkcija
Kako nema stacionarnih tačaka (iz [inlmath]f'(x)=0[/inlmath]) i pošto je [inlmath]D=\mathbb{R},\;x\neq0[/inlmath] to znači da nema ekstreme.
[inlmath]\;\;[/inlmath]6. Iz [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] dobijam
[dispmath]\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}=0[/dispmath]
Formirajući tabelu prevojnih tačaka dobijam:
na [inlmath]x\in(-\infty,-1)[/inlmath] i na [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] konkavnost
na [inlmath]x\in(-1,0)[/inlmath] i na [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath]
pa za prevojne tačke imam [inlmath]P_1(-1,-1)[/inlmath] i [inlmath]P_2(1,1)[/inlmath] što ponovo nije u skladu sa grafikom.
Hvala.