Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ispitivanje funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Ispitivanje funkcije

Postod display_error » Utorak, 09. Jun 2015, 21:01

Imam greške u ispitivanju osobina funkcije
[dispmath]f(x)=xe^{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}}[/dispmath]
Osobine koje ispitujem su: domen, parnost, nule, asimptote, ekstremi, prevojne tačke.

1. [inlmath]D=\mathbb{R},\;x\neq0[/inlmath]
2. [inlmath]f(x)[/inlmath] je neparna
3. [inlmath]f(x)[/inlmath] nema nule
4. 4.1. V.A.
Rešavao sam V.A. preko Maklorenovog reda za [inlmath]e^x[/inlmath] i
[dispmath]\lim_{x\to0^+}\frac{3x^2-1}{2x}=-\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to0^-}\frac{3x^2-1}{2x}=+\infty[/dispmath]
Odavde mi je V.A. [inlmath]x=0[/inlmath] što nije tačno jer sam proverio grafik u Wolfram-Alphi
[inlmath]\quad[/inlmath]4.2. H.A.
Rešavao sam H.A. preko jednakosti [inlmath]u^v=e^{v\ln u},\;u>0[/inlmath],
[dispmath]u=e,\;v=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2x^2}=\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je H.A [inlmath]y=e^{\frac{1}{2}}[/inlmath]. To opet nije tačno što se može videti na grafiku.
[inlmath]\quad[/inlmath]4.3. K.A.
[inlmath]f(x)[/inlmath] nema kosu asimptotu.

[inlmath]\;\;[/inlmath]5. Ekstremi funkcija
Kako nema stacionarnih tačaka (iz [inlmath]f'(x)=0[/inlmath]) i pošto je [inlmath]D=\mathbb{R},\;x\neq0[/inlmath] to znači da nema ekstreme.

[inlmath]\;\;[/inlmath]6. Iz [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] dobijam
[dispmath]\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}=0[/dispmath]
Formirajući tabelu prevojnih tačaka dobijam:
na [inlmath]x\in(-\infty,-1)[/inlmath] i na [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] konkavnost
na [inlmath]x\in(-1,0)[/inlmath] i na [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath]
pa za prevojne tačke imam [inlmath]P_1(-1,-1)[/inlmath] i [inlmath]P_2(1,1)[/inlmath] što ponovo nije u skladu sa grafikom.

Hvala.
 
Postovi: 61
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje funkcije

Postod Daniel » Sreda, 10. Jun 2015, 16:30

display_error je napisao:1. [inlmath]D=\mathbb{R},\;x\neq0[/inlmath]

:correct: Ovo je bolje zapisati kao [inlmath]D=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/inlmath] ili [inlmath]D=\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)[/inlmath] (bilo koji od ta dva načina).

display_error je napisao:2. [inlmath]f(x)[/inlmath] je neparna

:correct:

display_error je napisao:3. [inlmath]f(x)[/inlmath] nema nule

:correct:

display_error je napisao:4. 4.1. V.A.
Rešavao sam V.A. preko Maklorenovog reda za [inlmath]e^x[/inlmath] i
[dispmath]\lim_{x\to0^+}\frac{3x^2-1}{2x}=-\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to0^-}\frac{3x^2-1}{2x}=+\infty[/dispmath]
Odavde mi je V.A. [inlmath]x=0[/inlmath] što nije tačno jer sam proverio grafik u Wolfram-Alphi

Ne smeš razvijati u Tejlorov red funkciju koja nije definisana i diferencijabilna u tački u kojoj vršiš razvoj (za Maklorenov red u tački [inlmath]x=0[/inlmath]).
Umesto toga, možeš zaključivati ovako:
[dispmath]\left(x\to0^+\;\lor\;x\to0^-\right)\quad\Rightarrow\quad x^2\to 0^+\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{x^2}\to+\infty\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad1-\frac{1}{x^2}\to-\infty\quad\Rightarrow\quad e^{1-\frac{1}{x^2}}\to0\quad\Rightarrow\quad xe^{1-\frac{1}{x^2}}\to0[/dispmath]
Zasad toliko, ostatak dođe kasnije...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ispitivanje funkcije

Postod Daniel » Sreda, 10. Jun 2015, 21:31

Evo, da nastavimo... :)

display_error je napisao:Rešavao sam H.A. preko jednakosti [inlmath]u^v=e^{v\ln u},\;u>0[/inlmath],
[dispmath]u=e,\;v=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}[/dispmath]

Ništa time ne postižeš. Kad ti je [inlmath]u=e[/inlmath], tada se primenom te formule vrtiš u krug:
[dispmath]u=e\quad\Rightarrow\quad u^v=e^v=e^{v\ln e}=e^{v\cdot 1}=e^v[/dispmath]
display_error je napisao:[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2x^2}=\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je H.A [inlmath]y=e^{\frac{1}{2}}[/inlmath]. To opet nije tačno što se može videti na grafiku.

Nije tačno zbog toga što nisi uzeo u obzir ono [inlmath]x[/inlmath] ispred [inlmath]e[/inlmath]:
[dispmath]f(x)={\color{red}x}e^{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}}[/dispmath]
S tim [inlmath]x[/inlmath], dobićeš da je [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], što znači da nema horizontalne asimptote.

Ali, evo još jednog načina rezonovanja, koji je, po meni, daleko jednostavniji:
[dispmath]x\to\pm\infty\quad\Rightarrow\quad x^2\to+\infty\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{x^2}\to0\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{1}{x^2}\to1\quad\Rightarrow[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}\to\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad e^{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}}\to e^{\frac{1}{2}}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}
x\to-\infty & \Rightarrow & xe^{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}}\to-\infty\\
\\
x\to+\infty & \Rightarrow & xe^{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2}}\to+\infty\\
\\
\end{cases}[/dispmath]
display_error je napisao:[inlmath]\quad[/inlmath]4.3. K.A.
[inlmath]f(x)[/inlmath] nema kosu asimptotu.

:wrong:
Ima kosu, ali tvoj pogrešan zaključak je posledica toga što si, kako već rekoh, prevideo ono [inlmath]x[/inlmath] (koje množi [inlmath]e[/inlmath])...

display_error je napisao:[inlmath]\;\;[/inlmath]5. Ekstremi funkcija
Kako nema stacionarnih tačaka (iz [inlmath]f'(x)=0[/inlmath]) i pošto je [inlmath]D=\mathbb{R},\;x\neq0[/inlmath] to znači da nema ekstreme.

:correct:

display_error je napisao:[inlmath]\;\;[/inlmath]6. Iz [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] dobijam
[dispmath]\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}=0[/dispmath]
Formirajući tabelu prevojnih tačaka dobijam:
na [inlmath]x\in(-\infty,-1)[/inlmath] i na [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] konkavnost
na [inlmath]x\in(-1,0)[/inlmath] i na [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath]
pa za prevojne tačke imam [inlmath]P_1(-1,-1)[/inlmath] i [inlmath]P_2(1,1)[/inlmath] što ponovo nije u skladu sa grafikom.

:correct: Prevojne tačke su ti dobre i u skladu su s grafikom.

Kad kažeš konkavnost, pretpostavljam da misliš na konkavnost gledano odozgo? U tom slučaju je interval konkavnosti OK, mada se češće pod konveksnošću/konkavnošću misli na konveksnost/konkavnost gledano odozdo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs