Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Ispitati koveksnost i konkavnost funkcije
[dispmath]f(x)=e^{\large\frac{2x}{1-x^2}}[/dispmath]
Iz [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] nije moguće utvrditi prevojne tačke funkcije. Da li je moguće, na osnovu uslova o postojanju ekstremnih vrednosti u nekoj tački (postoji okolina tačke [inlmath]x_0[/inlmath] tako da za svako [inlmath]x[/inlmath] iz okoline važi [inlmath]f(x)\ge f(x_0)[/inlmath] (minimum) i [inlmath]f(x)\le f(x_0)[/inlmath] utvrditi prevojne tačke. Ja sam odatle pretpostavio da je [inlmath]P(0,1)[/inlmath] prevojna tačka.
Zanima me kako se utrđuju prevojne tačke funkcije u slučaju kada jednačina [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] nema realna rešenja? Da li je to moguće utvrditi preko ekstrema?
Kako je
[dispmath]f''(x)=\frac{4\left(-x^5+x^4-2x^3+2x^2+3x+1\right)}{\left(1-x^2\right)^2}e^{\large\frac{2x}{1-x^2}}[/dispmath]
izjednačavanjem sa nulom jednačina nema relna rešenja. U rešenju koje imam kaže da je potrebno ispitati funkciju
[dispmath]f_2(x)=-x^5+x^4-2x^3+2x^2+3x+1[/dispmath]
i primenom neke od teorema srednje vrednosti naći prevojnu tačku.
Ne razumem kako je interval neprekidnosti ove ([inlmath]f_2(x)[/inlmath]) funkcije [inlmath][1,2][/inlmath]? Iz neprekidnosti se zaključuje da postoji tačka [inlmath]c\in(1,2)[/inlmath] tako da je [inlmath]f_2(x)=0[/inlmath]. Može pojašnjenje? Takođe, nije mi jasno odakle se zaključuje da je funkcija konveksna na [inlmath](-\infty,c),\;c\neq1,\;c\neq-1[/inlmath] a konkavna na [inlmath](c,+\infty)[/inlmath]. Tačka [inlmath]P\big(c,f(c)\big)[/inlmath] je prevojna tačka funkcije. Odakle?
Hvala.