Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Herien Wolf » Utorak, 15. Decembar 2015, 19:32

Uskoro imam pismeni zadatak i hteo bih da proverim sebe, radi se o realnim funkcijama.
Ja cu pokazati kako ja radim, a vi proverite, ako imate savete i upustva podelite ih :)
[dispmath]y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}[/dispmath]
[inlmath]1.[/inlmath] Odrediti domen funkcije
[dispmath]x-2\ne0\\
x\ne2[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] Ispitati (ne)parnost funckije
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x^2-5x+7}{x-2}\\
f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^2-5\left(-x\right)+7}{\left(-x\right)-2}=\frac{x^2+5x+7}{-x-2}\;\Rightarrow\;f\left(x\right)\ne f\left(-x\right)\\
-f\left(x\right)=-\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}\;\Rightarrow\;-f\left(x\right)\ne f\left(-x\right)[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija nije ni parna ni neparna.

[inlmath]3.[/inlmath] Asimptote
Vertikalna asimptota
[dispmath]\lim_{x\to2_+}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{1}{0_+}=+\infty[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;x=2[/inlmath] je vertikalna asimptota.

Horizontalna asimptota
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-5+\frac{7}{x}}{1-\frac{2}{x}}=\frac{\infty}{1}=\infty[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota
[dispmath]k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2-5x+7}{x-2}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+7}{x^2-2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}=\frac{1}{1}=1\\
\Rightarrow\;k=1\\
n=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2-5x+7}{x-2}-x\right]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2-5x+7-x\left(x-2\right)}{x-2}\right]=\\
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+7-x^2+2x}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3x+7}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3+\frac{7}{x}}{1-\frac{2}{x}}=-3\\
\Rightarrow\;n=-3[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;y=x-3[/inlmath] je kosa asimptota.

[inlmath]4.[/inlmath] Granicne vrednosti
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{1}{0_+}=+\infty\\
\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{1}{0_-}=-\infty\\
\lim_{x\to2_+}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{1}{0_+}=+\infty\\
\lim_{x\to2_-}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{1}{0_-}=-\infty[/dispmath]
[inlmath]5.[/inlmath] Prvi izvod
[dispmath]y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}\;\Rightarrow\;y'=\frac{\left(x^2-5x+7\right)'\left(x-2\right)-\left(x^2-5x+7\right)\left(x-2\right)'}{\left(x-2\right)^2}=\\
=\frac{\left(2x-5\right)\left(x-2\right)-\left(x^2-5x+7\right)}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2x^2-4x-5x+10-x^2+5x-7}{\left(x-2\right)^2}=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}\\
y'=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}[/dispmath]
[inlmath]6.[/inlmath] Stacionarne tacke
[dispmath]y'=0\;\Rightarrow\;\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}=0\\
\Rightarrow\;\left(x-2\right)^2\ne0\\
\Rightarrow\;x^2-4x+3=0\\
D=4\\
x_1=3\\
x_2=1[/dispmath]
[inlmath]7.[/inlmath] Ekstremne vrednosti
[dispmath]y_1=f\left(x_1\right)=\frac{3^2-15+7}{3-2}=\frac{1}{1}=1\\
\Rightarrow\;y_1=1\\
y_2=f\left(x_2\right)=\frac{1-5+7}{1-2}=-\frac{3}{1}=-3\\
\Rightarrow\;y_2=-3\\
f\left(x\right)\nearrow x\in\left(-\infty,1\right)\cup\left(3,+\infty\right)\\
f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,3\right)\\
\max\left(1,-3\right)\\
\min\left(3,1\right)[/dispmath]
[inlmath]8.[/inlmath] Drugi izvod
[dispmath]y'=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}\;\Rightarrow\;y''=\frac{\left(x^2-4x+3\right)'\left(x-2\right)^2-\left(x^2-4x+3\right)\left(\left(x-2\right)^2\right)'}{\left(x-2\right)^4}=\\
=\frac{\left(2x-4\right)\left(x-2\right)^2-\left(x^2-4x+3\right)\left(2x-4\right)}{\left(x-2\right)^4}=\frac{\left(2x-4\right)\left[\left(x-2\right)^2-\left(x^2-4x+3\right)\right]}{\left(x-2\right)^4}=\\
=\frac{\left(2x-4\right)\left(x^2-4x+4-x^2+4x-3\right)}{\left(x-2\right)^4}=\frac{2x- 4}{\left(x-2\right)^4}=\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^4}=\frac{2}{\left(x-2\right)^3}\\
\Rightarrow\;y''=\frac{2}{\left(x-2\right)^3}[/dispmath]
[inlmath]9.[/inlmath] Prevojne tacke
[dispmath]y''=0\;\Rightarrow\;\frac{2}{\left(x-2\right)^3}=0\\
\Rightarrow\;\left(x-2\right)^3\ne0\;\Rightarrow\;\frac{2}{\left(x-2\right)^3}\ne0[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;y''\ne0[/inlmath] Nema prevojnih tacaka.

[inlmath]10.[/inlmath] Nule funkcije
[dispmath]y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}\\
x^2-5x+7=0\\
D=-3\\
x_{1,2}\notin\mathbb{R}[/dispmath]
Nema realnih nula.



Grafik je crtan rucno u ilustratoru :D
Prikačeni fajlovi
grafik funkciuje copy.png
Grafik funkcije
grafik funkciuje copy.png (7.47 KiB) Pogledano 2556 puta
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Daniel » Sreda, 16. Decembar 2015, 07:41

Sve ti je u redu, samo imam jednu malu primedbu, što pri računanju asimptota nisi računao obe vertikalne, obe horizontalne i obe kose, već samo po jednu od svake (desnu).

Mada, posle toga si i računao sve asimptote u okviru stavke o graničnim vrednostima, al' opet mi nije jasno šta će ti stavka o graničnim vrednostima, kad su to, zapravo, asimptote...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Herien Wolf » Sreda, 16. Decembar 2015, 07:56

Granicnim vrednostima odredjujem sa koje strane asimptote prilazi funkcija, dal je trunka ispod il trunka iznad (tako nama makar profesor objasnjava :) Nisam znao da ovde imaju dve kose asimptote il dve vertikalne, koje su :)?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Daniel » Sreda, 16. Decembar 2015, 08:01

Pa leva i desna. :)
Leva horizontalna i leva kosa su kad [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], a desna horizontalna i desna kosa su kad [inlmath]x\to+\infty[/inlmath].
Za levu vertikalnu i desnu vertikalnu slično, samo što [inlmath]x[/inlmath] ne teži [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath], već teži prekidnoj tački s leve, odnosno s desne strane.

Al' ako profesor od vas traži da radite na taj način koji si pokazao, onda tako i radi. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Herien Wolf » Sreda, 16. Decembar 2015, 08:06

Ok to :)
Sad me zanimaju dve stvari, intervali monotonosti, kad opada imam [inlmath]f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,3\right)[/inlmath] a gore imam kod domena [inlmath]x\ne2[/inlmath] da li je ispravno tako ili nesto domen utice pa treba da izbacim [inlmath]2[/inlmath] iz skupa kada opada?
I drugo kako da odredim konveksnost i konkavnost ovde, ja znam kad imam prevojne tacke pa da onda odredim.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Daniel » Sreda, 16. Decembar 2015, 08:27

Herien Wolf je napisao:kad opada imam [inlmath]f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,3\right)[/inlmath] a gore imam kod domena [inlmath]x\ne2[/inlmath] da li je ispravno tako ili nesto domen utice pa treba da izbacim [inlmath]2[/inlmath] iz skupa kada opada?

Da, svakako, to mi je promaklo. Znači, [inlmath]f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,2\right)\cup\left(2,3\right)[/inlmath].

Herien Wolf je napisao:I drugo kako da odredim konveksnost i konkavnost ovde, ja znam kad imam prevojne tacke pa da onda odredim.

Pomoću znaka drugog izvoda. Kada je drugi izvod negativan, tada je funkcija konkavna odozdo (tj. konveksna odozgo), a kada je drugi izvod pozitivan, tada je funkcija konveksna odozdo (tj. konkavna odozgo).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Onomatopeja » Sreda, 16. Decembar 2015, 22:33

Hteo bih samo dodati da u ovom primeru nije bilo potrebno racunski proveravati da li je posmatrana funkcija parna/neparna, jer domen funkcije nije simetrican u odnosu na nulu (nadam se da je jasno na sta mislim pod ovim poslednjim).

Takodje, kada se kosa asimptota odredjuje na ovaj nacin, onda nije jasno (bar iz ovog napisanog) da li funkcija njoj prilazi sa odozgo ili odozdo. Ali da, to se da videti iz konveksnosti/konkavnosti. Ali ono sto sam hteo da dodam je da ako se kosa asimptota trazi preko razvoja („malog o“), da se onda moze dobiti odgovor na to dodatno pitanje (bez gledanja konveksnosti/konkavnosti). No dobro, kako je ovde prica vezana za srednju skolu, to je onda i jasno zasto nismo koristili taj (drugi) nacin (ali sam samo hteo da spomenem da postoji jos neki nacin).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

Postod Herien Wolf » Sreda, 16. Decembar 2015, 23:04

Onomatopeja je napisao:Hteo bih samo dodati da u ovom primeru nije bilo potrebno racunski proveravati da li je posmatrana funkcija parna/neparna, jer domen funkcije nije simetrican u odnosu na nulu (nadam se da je jasno na sta mislim pod ovim poslednjim).

Da, zbog asimetrije domena nije ni parna ni neparna, upoznat sam ja sa tim, ovako sam otkucao jer zelim drugovima iz odeljenja detaljno da pokazem zadatak kako da rade (njima je i kvadratna teska), a provera mi je bila potrebna da ne bih pogresno ucio ljude :D
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs