Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Grafik racionalne i kubne funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Marko_BL » Sreda, 10. Februar 2016, 22:01

Pozdrav svima!

Student sam saobraćajnog fakulteta u Banjaluci, ostala su mi još dva ispita da očistim godinu.

U pitanju je ispit iz matematike 2 (matematiku 1 sam jedva dao) i iz statistike. Više puta sam izlazio na ispit i ništa. I na kraju, čovek (profesor) mi je dao zadatke koji će biti na ispitu da provežbam.

Bio bih vam od srca zahvalan kad bi neko uradio ove zadatke, a ja ću dalje vežbati po tom principu, bitno mi je da imam postupak ;)


Zadatak br. 1

Ispitajte tok funkcije i grafički je prikažite (domen, nule, izvodi, ekstremi, asimptote, grafik)
[dispmath]f(x)=\frac{x^2-2x}{x+1}[/dispmath]
Zadatak br. 2

Nacrtati grafik funkcije
[dispmath]y=x^3+2x^2-x-2[/dispmath]
(* Kod zadatka br. 1 nisam znao kako da ga napišem u čitavom redu, nadam se da ne zamerate.)
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 10. Februar 2016, 22:23, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa; korekcija naslova teme („Dva zadatka“ preimenovano u „Grafik racionalne i kubne funkcije“)
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Ilija » Sreda, 10. Februar 2016, 22:15

Pozdrav Marko_BL. :D

Kao prvo trebalo bi da procitas Pravilnik i Latex uputstvo (mada je pohvalno sto ga koristis vec u prvom postu). Zasto? Zato sto ako ti ja sad ispisem citav postupak Daniel ce se ljutiti. :lol: A i forum nije takav, da se na njemu resavaju zadaci postupno (potpuno). Iako si u takvom problemu, nemoguce je da bas nista ne znas odavde. Tako da ipak bi mogao da ubacis neko svoje razmisljanje.

Evo ja cu poceti za prvi zadatak i funkciju [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x}{x+1}[/inlmath]. Posto imamo funkciju u obliku razlomka, imenilac mora biti razlicit od nule, odnosno:
[dispmath]x+1\ne0\\
x\ne-1[/dispmath]
Znaci funkcija je definisana za [inlmath]x\ne-1[/inlmath], ili lepse zapisano [inlmath]Df:\;x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)[/inlmath].

Nadam se da imas neku ideju, pa da mozemo nastaviti dalje. Sto se tice nula, na primer, upotrebi da je [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath] (da nadjes preseke sa osama).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Daniel » Sreda, 10. Februar 2016, 22:24

Pozdrav, Marko_BL, preteče me Ilija, al' tim bolje. Premestio sam ti ova dva zadatka u rubriku „Grafik funkcije“, koja se upravo i bavi takvim zadacima.
Pregledaj ostale teme u toj rubrici, u njima imaš na više mesta prikazano upravo to što tražiš – tj. razne primere rešavanja ovakvih zadataka, na osnovu kojih bi trebalo da bez problema rešiš i ova dva.

Molim te samo da, kao što ti i Ilija reče, ne tražiš da ti radimo kompletne zadatke, jer je to u priličnoj suprotnosti s namenom, a i s pravilima ovog foruma. Rado ćemo ti pomoći ako nam pokažeš svoj postupak, i ako nam ukažeš na konkretne stvari u tom postupku koje ti nisu jasne i oko kojih ti je potrebna pomoć.

Korigovao sam ti Latex i preimenovao sam naslov teme, u skladu s tačkom 9. Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7779
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Marko_BL » Četvrtak, 11. Februar 2016, 22:35

Pozdrav i vama!

Da buem iskren, od pravilnika sam pročitao samo tačke, ali sam po vašem nagovoru pročitao celokupni pravilnik foruma i shvatio sam da sam to trebao da uradim ranije. Izvinjavam se!

Što se tiče lateksa, kod prvog zadatka nisam znao kako da stavim u jedan red, a kod drugog nisam ubacio kôd "equation". Hvala što ste to popravili.

Što se matematike tiče, sa njom sam se posvađao od kad su umesto brojeva uvedena slova :D Kroz čitavu srednju školu sam se provlačio, nastavnici su mi poklanjali dvicu. Sad vidim da nije moralo tako.

Svestan sam da je forum (pravila) koncipiran tako da pomogne u učenju i shvatanju matematike onima koji je ne znaju i da ih motiviše za dalje učenje. Meni je želja da naučim kako se rešava ovaj zadatak jer stvarno izgleda banalno, ali ja ne znam ni šta se u zadatku traži.


Da, deljenje nulom i sa nulom nema smisla jer ne postoji broj koji pomnožen sa nulom daje vrednost različitu od nule. (toliko znam :D )

Jel to znači da umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrštavam bilo koji broj osim [inlmath]-1[/inlmath] ?

Evo npr. uzmem da je [inlmath]x=3[/inlmath]
[dispmath]f(x)=\frac{3^2-2\cdot3}{3+1}[/dispmath][dispmath]f(x)=\frac{9-6}{3+1}[/dispmath][dispmath]f(x)=\frac{3}{4}[/dispmath][dispmath]f(x)=0,75[/dispmath]
I šta ću sa tim brojem [inlmath]0,75[/inlmath] (ako uopšte idem pravim putem?!)
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Ilija » Četvrtak, 11. Februar 2016, 22:49

Pa generalno, ovo sto si napisao nema neku upotrebu u onome sto se u zadatku trazi. Samo si izracunao vrednost funkcije za neko [inlmath]x[/inlmath] iz domena... Dakle, domen smo odredili ([inlmath]x\ne-1[/inlmath]). Dalje, kao sto si naveo slede nule funkcije.

Za [inlmath]x=0[/inlmath], znaci racunas [inlmath]f(0)[/inlmath] - vrednost funkcije u nuli, nakon cega dobijas tacku oblika [inlmath]\bigl(0,f(0)\bigr)[/inlmath].
Isto tako za [inlmath]y=0[/inlmath] ili [inlmath]f(x)=0[/inlmath], kako god, znaci izjednacavas datu funkciju sa nulom i dobijas neke tacke oblika [inlmath](x,0)[/inlmath]. Da li bi ovo mogao da izracunas?

Dalje, sledi ti prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti. Posto je funkcija u obliku razlomka, primenjujes formulu za izvod kolicnika:
[dispmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/dispmath]
U tvom slucaju [inlmath]u=x^2-2x[/inlmath], a [inlmath]v=x+1[/inlmath]. Da li bi mogao i ovo da izracunas? Znas li kako se rade izvodi uopste? Eto pogledaj ovo malo pa da nastavimo.

Kada odredis izvod izjednacis ga sa nulom, da bi nasao ekstremne vrednosti, a nakon toga odredjujes znak prvog izvoda radi intervala monotonosti. Ali, otom potom.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Marko_BL » Četvrtak, 11. Februar 2016, 23:42

Nula funkcije: [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x}{x+1}[/inlmath]
[dispmath]f(0)=\frac{0^2-2\cdot0}{0+1}[/dispmath][dispmath]f(0)=\frac{0-0}{1}[/dispmath][dispmath]f(0)=\frac{0}{1}[/dispmath][dispmath]f(0)=0[/dispmath]
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Ilija » Petak, 12. Februar 2016, 00:40

Da, to je to. Kada je [inlmath]x=0[/inlmath], vrednost funkcije bice [inlmath]f(0)=0[/inlmath], odnosno funkcija ce prolaziti kroz tacku na grafiku [inlmath]O(0,0)[/inlmath], odnosno koordinatni pocetak. Sada, dalje kao sto rekoh, isto to za [inlmath]f(x)=0[/inlmath]. Znaci [inlmath]x^2-2x=0[/inlmath], jer smo utvrdili da imenilac mora biti razlicit od nule:
[dispmath]x^2-2x=0\\
x(x-2)=0\\
x=0\;\lor\;x=2[/dispmath]
I sada tu dobijas ponovo tacku [inlmath]O(0,0)[/inlmath] i novu tacku [inlmath]A(2,0)[/inlmath].

I sad, mozemo krenuti na prvi izvod:
[dispmath]f'(x)=\left(\frac{x^2-2x}{x+1}\right)'=\frac{\left(x^2-2x\right)'(x+1)-\left(x^2-2x\right)(x+1)'}{(x+1)^2}=\cdots[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Marko_BL » Petak, 12. Februar 2016, 01:56

[dispmath]f'(x)=\left(\frac{x^2-2x}{x+1}\right)'=\frac{\left(x^2-2x\right)'(x+1)-\left(x^2-2x\right)(x+1)'}{(x+1)^2}=\\
=\frac{(x-2x+1)-\left(-x-x^2+1\right)}{(x+1)^2}=\frac{(-x+1)-\left(-x-x^2+1\right)}{(x+1)^2}=\frac{x^2}{(x+1)^2}[/dispmath]
:?:
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Ilija » Petak, 12. Februar 2016, 10:50

Zaista ne znam sta si radio ovde, ako bi mogao to malo da objasnis. Prvi izvod trebalo bi da bude:
[dispmath]f'(x)=\left(\frac{x^2-2x}{x+1}\right)'=\frac{\left(x^2-2x\right)'(x+1)-\left(x^2-2x\right)(x+1)'}{(x+1)^2}=\\
=\frac{(2x-2)(x+1)-\left(x^2-2x\right)}{(x+1)^2}=\frac{2x^2-2-x^2+2x}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}[/dispmath]
I sad prvi izvod izjednacavas za nulom da izracunas ekstremne vrednosti:
[dispmath]x^2+2x-2=0\\
x_{1,2}=-1\pm\sqrt3\\\
\\\
M_1\left(-1-\sqrt3,-4-2\sqrt3\right)_\max\\
M_2\left(-1+\sqrt3,-4+2\sqrt3\right)_\min[/dispmath]
Takodje, [inlmath]f'(x)<0[/inlmath] za [inlmath]-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3[/inlmath], odnosno [inlmath]f(x)[/inlmath] opada na intervalima [inlmath]\left(-1-\sqrt3,-1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-1,-1+\sqrt3\right)[/inlmath].

Isto tako, [inlmath]f'(x)>0[/inlmath] za [inlmath]x<-1-\sqrt3\enspace\land\enspace x>-1+\sqrt3[/inlmath], odnosno [inlmath]f(x)[/inlmath] raste na intervalima [inlmath]\left(-\infty,-1-\sqrt3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-1+\sqrt3,+\infty\right)[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Grafik racionalne i kubne funkcije

Postod Daniel » Petak, 12. Februar 2016, 15:12

Marko_BL je napisao:Evo npr. uzmem da je [inlmath]x=3[/inlmath]
[dispmath]f(x)=\frac{3^2-2\cdot3}{3+1}[/dispmath][dispmath]f(x)=\frac{9-6}{3+1}[/dispmath][dispmath]f(x)=\frac{3}{4}[/dispmath][dispmath]f(x)=0,75[/dispmath]
I šta ću sa tim brojem [inlmath]0,75[/inlmath] (ako uopšte idem pravim putem?!)

Kako ti i Ilija reče, ispitivanje funkcija se ne radi tako. Postupak koji si ti naveo (računanje vrednosti funkcije za jednu po jednu vrednost nezavisne promenljive) primenjuju razni matematički softveri kako bi prikazali izgled grafika funkcije, ali samo na nekom konačnom intervalu koji korisnik unapred zada. Znači, ovim načinom nikad ne možeš ispitati funkciju na celom intervalu [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath]. Drugo, tim načinom ispituješ funkciju samo za prebrojivo mnogo vrednosti, dakle, nije precizno, i treće i najvažnije – to bi bio prilično mukotrpan posao.
Zato postoji tih desetak stavki kroz koje treba proći pri svakom ispitivanju funkcija, redosled tih stavki nije toliko bitan (različiti profesori zadaju različite redoslede), ali je bitno sve ih odraditi. Ja sam ti već preporučio da pogledaš slične teme u okviru ove rubrike „Grafik funkcije“, ne znam zašto to nisi učinio, ali evo ti jedna konkretna tema u kojoj možeš videti kako izgleda taj postupak.

Marko_BL je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{\left(x^2-2x\right)'(x+1)-\left(x^2-2x\right)(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{(x-2x+1)-\left(-x-x^2+1\right)}{(x+1)^2}=\cdots[/dispmath]

Ilija je napisao:Zaista ne znam sta si radio ovde, ako bi mogao to malo da objasnis.

Ovo bi i mene veoma zanimalo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7779
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Sledeća

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 14. Decembar 2019, 03:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs