Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Asimptote funkcije trećeg korijena

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Gogele » Četvrtak, 31. Mart 2016, 12:42

Zdravo! Imam problem da odredim asimptote sljedeće funkcije [inlmath]f(x)=\sqrt[3]{6\cdot x^2+x^3}[/inlmath]. Evo šta sam dobio za ovu funkciju :

1) Tačke [inlmath]O_1=(0,0)[/inlmath] i [inlmath]O_2=(-6,0)[/inlmath] su presjeci grafika date funkcije sa koordinatnim osama.

2) Za [inlmath]x\in(-\infty,-6)[/inlmath] funkcija je negativna, a za [inlmath]x\in(-6,0)\cup(0,+\infty)[/inlmath] funkcija je pozitivna.

3) Za [inlmath]x\in(-\infty,-6)\cup(-6,-4)\cup(0,+\infty)[/inlmath] funkcija je strogo rastuća, a za [inlmath]x\in(-4,0)[/inlmath] je strogo opadajuća.

4) Tačka [inlmath]E=(-4,4)[/inlmath] je lokalni maksimum.

5) Za [inlmath]x\in(-\infty,-6)\cup(0,+\infty)[/inlmath] funkcija je konveksna nadolje (konveksna), a za [inlmath]x\in(-6,0)[/inlmath] je konveksna nagore (konkavna).

6) Tačke [inlmath]P_1=(-6,0)[/inlmath] i [inlmath]P_2=(0,0)[/inlmath] su prevojne tačke.

Prvi drugi izvod ove funkcije su, redom, sljedeći:
[dispmath]\frac{x^2+4x}{\left(x^3+6x^2\right)^{\frac{2}{3}}}[/dispmath][dispmath]\frac{-8x^2}{\left(x^3+6x^2\right)^{\frac{5}{3}}}[/dispmath]
Ja sam dobio samo jednu asimptotu, kosu, [inlmath]y=x+2[/inlmath], što, kada se pogleda grafik funkcije, ne može biti tačno. Koristio sam formule [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}[/inlmath] (za nalaženje koeficijenta pravca [inlmath]k[/inlmath]) i [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-k\cdot x\bigr)[/inlmath] (za nalaženje presjeka asimptote i [inlmath]y[/inlmath]-ose). Zanima me gdje to griješim?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod desideri » Četvrtak, 31. Mart 2016, 13:05

Kosa asimptota je ok, proverio sam.
Tačne su ti i nule funkcije.
Tačan je i prvi izvod.
Imaš i minimum u [inlmath](0,0)[/inlmath]. Tu prvi izvod nije definisan, ali jeste minimum.
Ja to zovem "špic".
Tačan je i drugi izvod.
Proveriću i ovo ostalo, ako me neko ne preduhitri što bih baš voleo. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1518
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

  • +1

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Ilija » Četvrtak, 31. Mart 2016, 14:51

Mene ovde zanima zasto su pravljeni prekidi, tj. zasto je razdvajano kod znaka (u nuli - za pozitivan deo) i kod monotonosti (u sestici - za rastuci deo), kad je funckija definisana za [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]?

Takodje, maksimum je valjda [inlmath]E=\left(-4,\sqrt[3]{32}\right)[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Daniel » Četvrtak, 31. Mart 2016, 15:53

Potvrđujem i ja da je kosa asimptota dobra. Dakle, leva kosa i desna kosa asimptota su jednake i iznose [inlmath]y=x+2[/inlmath].

Ali, ima drugih grešaka, od kojih je neke Ilija primetio:
Ilija je napisao:Mene ovde zanima zasto su pravljeni prekidi, tj. zasto je razdvajano kod znaka (u nuli - za pozitivan deo) i kod monotonosti (u sestici - za rastuci deo), kad je funckija definisana za [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]?

Za interval pozitivne vrednosti funkcije ima logike da bude razdvojeno u nuli, budući da za [inlmath]x=0[/inlmath] vrednost funkcije iznosi nula, što nije ni pozitivno ni negativno (iako se neki autori s ovim ne bi složili). Zato je OK nulu izostaviti iz intervala u kojima je funkcija pozitivna.
Međutim, kod intervala monotonosti ne treba izostaviti [inlmath]x=-6[/inlmath]. Tačno je da prvi izvod za [inlmath]x=-6[/inlmath] nije definisan, ali monotonost se i ne posmatra u samo jednoj tački, već upoređivanjem vrednosti funkcije u dvema vrlo bliskim tačkama.
Po definiciji, funkcija je na nekom intervalu rastuća ako za svako [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] iz tog intervala važi [inlmath]x_1<x_2\;\Rightarrow\;f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)[/inlmath], a možemo uočiti da to u tački [inlmath]x=6[/inlmath], kao i u njenoj dovoljno maloj okolini, jeste ispunjeno.
Dakle – funkcija je strogo rastuća za [inlmath]x\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left(0,+\infty\right)[/inlmath], a opadajuća za [inlmath]x\in\left(-4,0\right)[/inlmath].

Ilija je napisao:Takodje, maksimum je valjda [inlmath]E=\left(-4,\sqrt[3]{32}\right)[/inlmath].

Tako je, ne [inlmath]\left(-4,4\right)[/inlmath] kako je napisano, već [inlmath]\left(-4,\sqrt[3]{32}\right)[/inlmath]. To jest, [inlmath]\left(-4,\;2\sqrt[3]4\right)[/inlmath].
I, kao što Desideri napisa, u [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] imamo i lokalni minimum, u obliku „šiljka“.

Gogele je napisao:5) Za [inlmath]x\in(-\infty,-6)\cup(0,+\infty)[/inlmath] funkcija je konveksna nadolje (konveksna), a za [inlmath]x\in(-6,0)[/inlmath] je konveksna nagore (konkavna).

Ne, funkcija jeste konveksna odozdo za [inlmath]x\in\left(-\infty,-6\right)[/inlmath], ali je konkavna odozdo za [inlmath]x\in\left(-6,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)[/inlmath]. U tački [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija ima „šiljak“.

Gogele je napisao:6) Tačke [inlmath]P_1=(-6,0)[/inlmath] i [inlmath]P_2=(0,0)[/inlmath] su prevojne tačke.

Samo [inlmath]P_1=\left(-6,0\right)[/inlmath] je prevojna tačka, jer u njoj funkcija prelazi iz konveksnosti u konkavnost (gledano odozdo). Tačka [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] nije prevojna, jer je, kako već napisah, funkcija pre nje konkavna odozdo i nakon nje takođe konkavna odozdo, dok u samoj tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] funkcija ima „šiljak“ (drugi izvod u njoj nije nula, već je neodređen, budući da imamo deljenje nule nulom).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Ilija » Četvrtak, 31. Mart 2016, 16:27

Daniel je napisao:Potvrđujem i ja da je kosa asimptota dobra. Dakle, leva kosa i desna kosa asimptota su jednake i iznose [inlmath]y=x+2[/inlmath].

Da, zaista se dobije ova kosa asimptota. Ali mene nesto buni. Mozda je ovo neko fail pitanje, ali kako kosa asimptota sece funkciju? Ja do sada nisam takav primer radio. Uvek je bilo da funckija ne dodiruje, a priblizava se asimptoti. Znaci li to da asimptota moze da sece krivu?

Daniel je napisao:Za interval pozitivne vrednosti funkcije ima logike da bude razdvojeno u nuli, budući da za [inlmath]x=0[/inlmath] vrednost funkcije iznosi nula, što nije ni pozitivno ni negativno (iako se neki autori s ovim ne bi složili). Zato je OK nulu izostaviti iz intervala u kojima je funkcija pozitivna.

Da, ovo ima logike. Palo mi je to na pamet, samo mi nikad nismo iskljucivali nulu, pa zato. Ali, svakako je ovako preciznije. :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

  • +1

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Daniel » Četvrtak, 31. Mart 2016, 17:07

Ilija je napisao:Ali mene nesto buni. Mozda je ovo neko fail pitanje, ali kako kosa asimptota sece funkciju? Ja do sada nisam takav primer radio. Uvek je bilo da funckija ne dodiruje, a priblizava se asimptoti. Znaci li to da asimptota moze da sece krivu?

Kad ispitujemo horizontalne ili kose asimptote, bitno nam je ponašanje funkcije samo u beskonačnosti, a u beskonačnosti se funkcija približava asimptoti ali je nikad ne dodiruje.
Ne zanima nas kakav odnos imaju funkcija i horizontalna/kosa asimptota u konačnom delu posmatranog intervala. Tu mogu i da se seku, i to nije nikakva neuobičajena pojava. Evo i nekih primera:
viewtopic.php?f=37&t=672#p4794
viewtopic.php?f=37&t=77#p530
viewtopic.php?f=37&t=32&start=10#p151
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Gogele » Petak, 01. April 2016, 08:46

Hvala na odgovorima. Dakle, pogriješio sam u računu, i, prije svega, u određivanju znaka drugog izvoda za [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath]. Sad vidim da je tada manji od nule. Takođe, nisam tačno napisao onaj interval monotonosti, a zaboravio sam primijetiti i lokalni minimum u nuli, iako sam utvrdio da tu prvi izvod nije definisan.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod desideri » Petak, 01. April 2016, 15:33

Ilija je napisao:ali kako kosa asimptota sece funkciju?

Kosa asimptota ali i horizontalna isto tako može beskonačno mnogo puta da seče funkciju.
Navešću i primer, a za sada napominjem da se radi o tzv "prigušenoj" trigonometrijskoj funkciji koja osciluje sa sve manjim i manjim odstupanjima oko asimptote.
p.s. U beskonačnosti se naravno pridružuju, srećne obe, i funkcija i asimptota. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1518
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

  • +1

Re: Asimptote funkcije trećeg korijena

Postod Daniel » Subota, 02. April 2016, 10:30

E, o jednoj takvoj funkciji već je bilo reči na forumu. U pitanju je ovaj post, na čijem se kraju nalazi i grafik te funkcije, na kojem se tačno i vide te prigušene oscilacije oko horizontalne asimptote [inlmath]y=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 14:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs