Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Eksponencijalna + korena funkcija

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Eksponencijalna + korena funkcija

Postod Trougao » Ponedeljak, 13. Jun 2016, 11:07

Juce sam polagao analizu 1 i na ispitu smo imali jednu bas opaku funkciju:
[dispmath]y=e^{-\frac{1}{x}}\sqrt{x^2+x}[/dispmath]
Pronaci drugi izvod ove funkcije je pravi kosmar. Ono sto mene interesuje postojili neki drugi nacin da se ispita konveksnost i konkavnost osim drugog izvoda, da li postoji neka caka koju nismo radili na fakultetu za koju ne znam? :unsure:
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Eksponencijalna + korena funkcija

Postod Daniel » Utorak, 14. Jun 2016, 13:33

Budući da se za prvi izvod dobije
[dispmath]y'=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{x^2+x}}\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)[/dispmath]
iz tog oblika nije očigledno na kojim intervalima prvi izvod raste a na kojima opada, tj. na kojim intervalima je funkcija konveksna a na kojim konkavna.
Takođe, nije na osnovu prvog izvoda moguće odrediti ni prevojne tačke. Znači, ne gine traženje drugog izvoda.
Ali, ne vidim zbog čega bi nalaženje drugog izvoda bio neki veliki problem. Jeste malo više posla, ali nikako to ne bih nazvao „pravim košmarom“. :)
Ja ga izračunao u sedam-osam redova. Lakše mi je bilo da ga računam u Latexu nego na papiru, pa kad već imam taj svoj postupak, što da ga ne okačim ovde.
[dispmath]y''=\left[\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{x^2+x}}\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)\right]'[/dispmath]
Primenim formulu za izvod proizvoda. Za prvu funkciju sam odabrao [inlmath]e^{-\frac{1}{x}}[/inlmath], a za drugu ovo ostalo.
[dispmath]y''=\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)'\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\left(\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+x}}\right)'[/dispmath]
Zatim za nalaženje izvoda te druge funkcije primenim formulu za izvod količnika,
[dispmath]y''=e^{-\frac{1}{x}}\frac{1}{x^2}\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\frac{\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)'\sqrt{x^2+x}-\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)\left(\sqrt{x^2+x}\right)'}{x^2+x}\\
y''=e^{-\frac{1}{x}}\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{x^2\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\sqrt{x^2+x}-\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}}{x^2+x}[/dispmath]
U drugom razlomku, radi oslobađanja razlomaka u brojiocu, pomnožim i brojilac i imenilac sa [inlmath]4x^2\sqrt{x^2+x}[/inlmath],
[dispmath]y''=e^{-\frac{1}{x}}\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{x^2\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\frac{4\left(x^2-1\right)\left(x^2+x\right)-\left(2x^3+3x^2+2x\right)\left(2x+1\right)}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}[/dispmath]
Izvučem ispred zagrade [inlmath]\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}[/inlmath],
[dispmath]y''\!=\!\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}\Bigl[2\left(x+1\right)\left(2x^2+3x+2\right)\!+\!4\left(x^2-1\right)\left(x^2+x\right)\!-\!\left(2x^3+3x^2+2x\right)\left(2x+1\right)\Bigr][/dispmath]
U zagradi sve izmnožim, skratim što se može skratiti,
[dispmath]y''\!=\!\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}\left(\cancel{4x^3}\!+10x^2+10x+4+\!\bcancel{4x^4}\!+\!\cancel{4x^3}\!-4x^2-4x-\!\bcancel{4x^4}\!-\!\cancel{8x^3}\!-7x^2-2x\right)[/dispmath]
i konačan rezultat za drugi izvod je
[dispmath]\enclose{box}{y''=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}\left(-x^2+4x+4\right)}[/dispmath]
Sada, prilikom ispitivanja znaka i nula drugog izvoda dovoljno je posmatrati samo faktor [inlmath]\left(-x^2+4x+4\right)[/inlmath], jer je sve ovo ostalo uvek strogo pozitivno u domenu u kojem je prvi izvod definisan...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Eksponencijalna + korena funkcija

Postod Trougao » Utorak, 14. Jun 2016, 22:39

Steta ja sam se nadao nekom magicnom resenju :mrgreen:
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 22. Avgust 2019, 04:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs