Stranica 1 od 1

Eksponencijalna + korena funkcija

PostPoslato: Ponedeljak, 13. Jun 2016, 10:07
od Trougao
Juce sam polagao analizu 1 i na ispitu smo imali jednu bas opaku funkciju:
[dispmath]y=e^{-\frac{1}{x}}\sqrt{x^2+x}[/dispmath]
Pronaci drugi izvod ove funkcije je pravi kosmar. Ono sto mene interesuje postojili neki drugi nacin da se ispita konveksnost i konkavnost osim drugog izvoda, da li postoji neka caka koju nismo radili na fakultetu za koju ne znam? :unsure:

Re: Eksponencijalna + korena funkcija

PostPoslato: Utorak, 14. Jun 2016, 12:33
od Daniel
Budući da se za prvi izvod dobije
[dispmath]y'=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{x^2+x}}\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)[/dispmath]
iz tog oblika nije očigledno na kojim intervalima prvi izvod raste a na kojima opada, tj. na kojim intervalima je funkcija konveksna a na kojim konkavna.
Takođe, nije na osnovu prvog izvoda moguće odrediti ni prevojne tačke. Znači, ne gine traženje drugog izvoda.
Ali, ne vidim zbog čega bi nalaženje drugog izvoda bio neki veliki problem. Jeste malo više posla, ali nikako to ne bih nazvao „pravim košmarom“. :)
Ja ga izračunao u sedam-osam redova. Lakše mi je bilo da ga računam u Latexu nego na papiru, pa kad već imam taj svoj postupak, što da ga ne okačim ovde.
[dispmath]y''=\left[\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{x^2+x}}\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)\right]'[/dispmath]
Primenim formulu za izvod proizvoda. Za prvu funkciju sam odabrao [inlmath]e^{-\frac{1}{x}}[/inlmath], a za drugu ovo ostalo.
[dispmath]y''=\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)'\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\left(\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+x}}\right)'[/dispmath]
Zatim za nalaženje izvoda te druge funkcije primenim formulu za izvod količnika,
[dispmath]y''=e^{-\frac{1}{x}}\frac{1}{x^2}\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\frac{\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)'\sqrt{x^2+x}-\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)\left(\sqrt{x^2+x}\right)'}{x^2+x}\\
y''=e^{-\frac{1}{x}}\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{x^2\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\sqrt{x^2+x}-\left(x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}\right)\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}}{x^2+x}[/dispmath]
U drugom razlomku, radi oslobađanja razlomaka u brojiocu, pomnožim i brojilac i imenilac sa [inlmath]4x^2\sqrt{x^2+x}[/inlmath],
[dispmath]y''=e^{-\frac{1}{x}}\frac{x+\frac{3}{2}+\frac{1}{x}}{x^2\sqrt{x^2+x}}+e^{-\frac{1}{x}}\frac{4\left(x^2-1\right)\left(x^2+x\right)-\left(2x^3+3x^2+2x\right)\left(2x+1\right)}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}[/dispmath]
Izvučem ispred zagrade [inlmath]\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}[/inlmath],
[dispmath]y''\!=\!\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}\Bigl[2\left(x+1\right)\left(2x^2+3x+2\right)\!+\!4\left(x^2-1\right)\left(x^2+x\right)\!-\!\left(2x^3+3x^2+2x\right)\left(2x+1\right)\Bigr][/dispmath]
U zagradi sve izmnožim, skratim što se može skratiti,
[dispmath]y''\!=\!\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}\left(\cancel{4x^3}\!+10x^2+10x+4+\!\bcancel{4x^4}\!+\!\cancel{4x^3}\!-4x^2-4x-\!\bcancel{4x^4}\!-\!\cancel{8x^3}\!-7x^2-2x\right)[/dispmath]
i konačan rezultat za drugi izvod je
[dispmath]\enclose{box}{y''=\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{4x^2\left(x^2+x\right)\sqrt{x^2+x}}\left(-x^2+4x+4\right)}[/dispmath]
Sada, prilikom ispitivanja znaka i nula drugog izvoda dovoljno je posmatrati samo faktor [inlmath]\left(-x^2+4x+4\right)[/inlmath], jer je sve ovo ostalo uvek strogo pozitivno u domenu u kojem je prvi izvod definisan...

Re: Eksponencijalna + korena funkcija

PostPoslato: Utorak, 14. Jun 2016, 21:39
od Trougao
Steta ja sam se nadao nekom magicnom resenju :mrgreen: