Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 11:02
od ss_123
Pozdrav, treba mi pomoc sa zadatkom u kome treba ispitati funkciju [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}+\ln x[/inlmath]
Ovako sam poceo:
1. domen je, jel tako, skup od nula do beskonacno, zbog logaritma ciji je uslov [inlmath]x>0[/inlmath].
2. funkcija nije ni parna ni neparna jer se ne moze uvrstiti [inlmath]-x[/inlmath] u [inlmath]\ln[/inlmath].
3. nule nisam znao odrediti jer dobijem [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x=0[/inlmath] i ne znam kako da to rijesim.
4. prvi izvod dobijem [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+1}{x}=0[/inlmath] ali to ne moze biti nula jer je kvadrat uvijek pozitivan.

Ako moze mala pomoc.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 11:32
od Ilija
Sve je dobro sto si odradio. Kao sto si i napisao, prvi izvod je:
[dispmath]f'(x)=\frac{x^2+1}{x}[/dispmath] sto ne moze biti nula ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] iz domena, pa zakljucujemo da nema ekstremnih vrednosti, i da je funkcija rastuca na celom svom domenu.

Sto se tice ove jednacine koju je potrebno resiti da bi se dobila nula funkcije, mislim da to vec zahteva neku od numerickih metoda, pa sad ne znam je li to radjeno uopste.

Dalje ispitivanje, sta se desava sa tim? Asimptote, drugi izvod, prevojne tacke, grafik...?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 11:37
od Ilija
I da...da ne zaboravim, da te jos jednom podsetim da procitas Pravilnik i Latex uputstvo, ako vec nisi. I da ti pozelim dobrodoslicu na forum. :thumbup:

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 11:46
od ss_123
Ok, samo nisam razumio, osim sto zakljucujemo da nema ekstremnih vrijednosti, iz cega konkretno zakljucujemo da je rastuca?
I na koje numericke metode mislis?
Ostatak nisam jos, jer nisam ni ove prve korake uradio, to cu u nastavku uraditi.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 11:51
od Ilija
Pa ako je za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena prvi izvod veci od nule (sto kod nas jeste slucaj), onda je funkcija na celom domenu monotono rastuca.

Pa, s obzirom na to da si mi rekao da si prva godina fakulteta, ne verujem da ste to radili. To se obicno radi na drugoj, trecoj godini, koliko ja znam. Pa kad jednacina ne moze da se resi analitickim putem, koriste se numericke metode. Ne treba da se zamaras time za sad, rekao bih. :)

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 12:11
od ss_123
Pa ne znam na koje metode mislis. Ali moram nekako odrediti nulu. Funkcija ima, jel tako, jednu nulu?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 12:16
od Ilija
Pa numericke metode za resavanje jednacina, kao sto su metoda polovljenja intervala, Njutnova metoda (metoda tangente), metoda secice i slicno.

I da, funkcija ima jednu realnu nulu, [inlmath]x\approx0,753089[/inlmath].

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 12:24
od Ilija
U sustini, sto se konkretne jednacine tice, mozes to priblizno resiti i graficki. Nacrtas ovu funckiju kao dve posebne, npr. kao:
[dispmath]f_1(x)=-\frac{x^2}{2}\\
f_2(x)=\ln(x)[/dispmath] i onda ocitas da se funckije seku za [inlmath]x\approx0,75[/inlmath].

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 12:44
od ss_123
U pravu si, to spada u numericku matematiku, a to se radi na drugoj godini.

Ali ja moram odrediti nulu, bez obzira na koji nacin.
Pa ne znam kako da najlakse odredim to, ako ponovo budem u slicnoj situaciji?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 13:13
od Ilija
Pa u ovakvim situacijama ili graficki ili putem numerickih metoda.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 13:15
od ss_123
I jos me zanima, posto [inlmath]x=0[/inlmath] nije u domenu, jel iz toga slijedi da ne dodiruje [inlmath]y[/inlmath] osu?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 13:23
od Ilija
Tako nekako. :)

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 19:07
od Daniel
Upravo. :)
Pošto domen ove funkcije čine isključivo pozitivne vrednosti [inlmath]x[/inlmath], a pozitivna vrednost [inlmath]x[/inlmath]-ose se nalazi desno od koordinatnog početka, tj. desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose, odatle sledi da će se i ceo grafik nalaziti desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose, tj. da neće dodirivati [inlmath]y[/inlmath]-osu.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 22:53
od ss_123
Super, idemo dalje.

Drugi izvod je [inlmath]\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}[/inlmath]. Ako to izjednačim sa nulom, dobijem [inlmath]x=1[/inlmath].
Ali me zbunilo što bi onda prevojna tačka bila [inlmath]P(1,0)[/inlmath], a ta tačka ne pripada grafiku. Očigledno da sam negdje pogriješio, ali ne znam gdje?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:00
od Ilija
Vrednost [inlmath]x=-1[/inlmath] otpada zbog domena, naravno. Vrednost [inlmath]x=1[/inlmath] zamenjujes u pocetnu funkciju za dobijanje [inlmath]y[/inlmath] koordinate, ne u drugi izvod - sto znaci da ces dobiti tacku [inlmath]\displaystyle P\left(1,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:32
od ss_123
Au, da. zbunio sam se.

ostaju jos samo asimptote.
horizontalne nema, jer je rezultat limesa beskonacno.
vertikalne nema, valjda zato sto nema posebnih tacaka koje su iskljucene iz domena.
kod kose ne znam kako da rijesim limes, ako imam [inlmath]\ln[/inlmath]...
znaci za [inlmath]\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{2}+\ln x}{x}[/inlmath]
ako dijelim sa [inlmath]x[/inlmath] na najveci stepen, dobijem [inlmath]\displaystyle\frac{\ln x}{x^2}[/inlmath] i to ne znam čemu je jednako

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:36
od ss_123
Ili mozda mogu pomocu l'Hopital-a
ali tako dobijem nulu za rezultat.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:41
od Ilija
Horizontalnih i kosih nema, jer svi ti limesi su beskonacno.
Ali obrati paznju, vertikalnu asimptotu imas ([inlmath]x=0[/inlmath]).

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:45
od ss_123
Nisam razumio kako si to dobio. U tom limesu, [inlmath]x[/inlmath] treba teziti toj nekoj tacki, koja ne pripada domenu, ili?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:51
od Ilija
Tako je... a to je upravo [inlmath]x=0[/inlmath]. Dakle, dovoljan je samo "desni" limes, tj. kada [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]0^+[/inlmath], jer funkcija za manje od nule nije ni definisana.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Petak, 16. Septembar 2016, 23:54
od ss_123
Da, ali odakle ideja da je nula bas ta tacka, iz cega to zakljucujemo? (mozda malo glupo pitanje :( )

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 00:00
od ss_123
A i pojavljuje mi se oblik [inlmath]\ln0[/inlmath] koji nema rjesenja.
Ili se tu ne misli bas na nulu, vec na neku malu vrijednost, ali to je negativan broj...

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 00:22
od Daniel
ss_123 je napisao:znaci za [inlmath]\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{2}+\ln x}{x}[/inlmath]
ako dijelim sa [inlmath]x[/inlmath] na najveci stepen, dobijem [inlmath]\displaystyle\frac{\ln x}{x^2}[/inlmath] i to ne znam čemu je jednako

Ako bi delio sa [inlmath]x[/inlmath] na najveći stepen, u imeniocu bi dobio [inlmath]\displaystyle\frac{1}{x}[/inlmath] i imao bi da ti imenilac teži nuli.
Umesto toga, lepo napišeš kao što si krenuo,
[dispmath]k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{2}+\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}+\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}[/dispmath] [inlmath]\displaystyle\frac{\ln x}{x}[/inlmath] ti je jedan od karakterističnih limesa (kada [inlmath]x\to\infty[/inlmath], tada stepena funkcija [inlmath]x^n\;(n\ge1)[/inlmath] brže teži beskonačnosti od logaritamske – ovde ti je [inlmath]n=1[/inlmath]). Pogledaj o tome u ovoj temi, pod 4.
Samim tim, i ovo što si malopre pitao – čemu teži [inlmath]\displaystyle\frac{\ln x}{x^2}[/inlmath]. Ako [inlmath]\displaystyle\frac{\ln x}{x}[/inlmath] teži nuli, tada će [inlmath]\displaystyle\frac{\ln x}{x^2}[/inlmath] još brže težiti nuli.

ss_123 je napisao:Ili mozda mogu pomocu l'Hopital-a
ali tako dobijem nulu za rezultat.

Ne dobija se nula pomoću l'Hôpitala. Dobije se beskonačno, isto kao i na ovaj prethodni način.
Ako želiš, napiši kako si radio preko l'Hôpitala, da ti ukažemo na grešku.

ss_123 je napisao:Da, ali odakle ideja da je nula bas ta tacka, iz cega to zakljucujemo? (mozda malo glupo pitanje :( )

Zbog toga što nula predstavlja granicu između oblasti u kojoj je funkcija definisana i oblasti u kojoj funkcija nije definisana.

ss_123 je napisao:A i pojavljuje mi se oblik [inlmath]\ln0[/inlmath] koji nema rjesenja.
Ili se tu ne misli bas na nulu, vec na neku malu vrijednost, ali to je negativan broj...

Tako je, negativan broj, štaviše, negativna beskonačnost.
Znači, za vertikalnu asimptotu dobiješ da je [inlmath]\lim\limits_{x\to0+}f(x)=-\infty[/inlmath].

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 17:00
od desideri
Hajde da postavimo neka pravila:
  • Funkcija oblika [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] pri čemu [inlmath]x[/inlmath] može biti bilo šta, tj bilo koja funkcija koja zavisi od [inlmath]x[/inlmath] u realnom domenu ima dva kandidata za vertikalnu asimptotu, i s leve i s desne strane.
  • Funkcija oblika [inlmath]\ln(x)[/inlmath] pri čemu [inlmath]x[/inlmath] može biti bilo šta, tj bilo koja funkcija koja zavisi od [inlmath]x[/inlmath] u realnom domenu može imati (eventualno) samo asimptotu s desne strane. Jer [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti negativno.
  • Funkcija oblika [inlmath]\sqrt{(x)}[/inlmath] pri čemu [inlmath]x[/inlmath] može biti bilo šta, tj bilo koja funkcija koja zavisi od [inlmath]x[/inlmath] u realnom domenu nema vertikalnu asimptotu.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 17:07
od ss_123
Daniel je napisao:Zbog toga što nula predstavlja granicu između oblasti u kojoj je funkcija definisana i oblasti u kojoj funkcija nije definisana.

Aha, znaci zbog toga nula.
A sta bi bilo da je npr. domen unija neka dva skupa [inlmath](a,b)\cup(c,+\infty)[/inlmath], da li bi onda provjeravali za svaku granicu (za [inlmath]a,b,c[/inlmath]), vertikalnu asimptotu?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 17:22
od desideri
Pošto nisu uključeni ni [inlmath]a[/inlmath] ni [inlmath]b[/inlmath] ni [inlmath]c[/inlmath], moj odgovor je da, treba ispitivati i levo i desno za sve tri tačke.
p.s. Osim ako domen npr isključuje levo od [inlmath]a[/inlmath] ili desno od [inlmath]b[/inlmath] itd. Nadam se da se razumemo. :)
p.p.s. Ovako kako si primer postavio, ispitivalo bi se desno od [inlmath]a[/inlmath], levo od [inlmath]b[/inlmath] i desno od [inlmath]c[/inlmath].

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 17:26
od ss_123
Ilija je napisao:U sustini, sto se konkretne jednacine tice, mozes to priblizno resiti i graficki. Nacrtas ovu funckiju kao dve posebne, npr. kao:
[dispmath]f_1(x)=-\frac{x^2}{2}\\
f_2(x)=\ln(x)[/dispmath] i onda ocitas da se funckije seku za [inlmath]x\approx0,75[/inlmath].

Ovdje nisam razumio zasto prva funkcija ima minus ispred?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 17:31
od desideri
Logaritam funkcije čiji je argument manji od jedinice je negativan.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Subota, 17. Septembar 2016, 19:21
od Daniel
ss_123 je napisao:Ovdje nisam razumio zasto prva funkcija ima minus ispred?

Hoćeš, dakle, da nađeš nule funkcije [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}+\ln x[/inlmath] grafičkim putem.
Postavljaš jednačinu [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x=0[/inlmath].
Iz te jednačine sledi, prebacivanjem [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{2}[/inlmath] na desnu stranu, da je [inlmath]\displaystyle\ln x=-\frac{x^2}{2}[/inlmath].
I onda desnu stranu posmatraš kao funkciju [inlmath]f_1(x)[/inlmath], a levu stranu kao funkciju [inlmath]f_2(x)[/inlmath] (možeš i obratno, potpuno svejedno, Ilija ih je ovako obeležio).
Rešenje jednačine tražiš u preseku grafika ovih dveju funkcija.

Znači, slično kao kad bi imao relaciju [inlmath]a+b=0[/inlmath] pa odatle treba [inlmath]b[/inlmath] da izraziš preko [inlmath]a[/inlmath] i dobiješ [inlmath]b=-a[/inlmath]. Odatle taj minus.

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Nedelja, 18. Septembar 2016, 12:09
od ss_123
Hvala vam puno, uspio sam rijesiti zadatak.

Imam jos jedno pitanje isto iz ispitivanja funkcija, ali je druga funkcija. Da li da postavim u ovoj temi?

Re: Ispitivanje funkcije

PostPoslato: Nedelja, 18. Septembar 2016, 12:12
od Daniel
Bolje u posebnoj. :)