Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Nedelja, 18. Septembar 2016, 13:52

Imam nekih nejasnoća u ovom zadatku.
Treba ispitati funkciju [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{2}\text{arctg }x[/inlmath].

U domenu treba ispuniti samo jedan uslov, samo izraz uz [inlmath]\ln[/inlmath] treba biti veci od nule. Pa je domen [inlmath](-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Kod određivanja nula sam zapeo. Kad ovaj izraz izjednačim sa nulom, ne znam kako da dobijem [inlmath]x[/inlmath].
Nakon sredjivanja izraza dobio sam
[inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}=2\text{ arctg }x[/inlmath] ili
[inlmath]e^{2\text{ arctg }x}=\frac{x-1}{x+1}[/inlmath]
Ali ne znam kako da iz tog dobijem [inlmath]x[/inlmath]?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Nedelja, 18. Septembar 2016, 14:21

ss_123 je napisao:U domenu treba ispuniti samo jedan uslov, samo izraz uz [inlmath]\ln[/inlmath] treba biti veci od nule. Pa je domen [inlmath](-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Zapravo, ima još jedan uslov, a to je da imenilac mora biti različit od nule – ali dobro, taj uslov si ionako na kraju obuhvatio u intervalu za domen.

ss_123 je napisao:[inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}=2\text{ arctg }x[/inlmath] ili
[inlmath]e^{2\text{ arctg }x}=\frac{x-1}{x+1}[/inlmath]
Ali ne znam kako da iz tog dobijem [inlmath]x[/inlmath]?

Analitičkim putem, nikako, jer je to transcendentna jednačina. Isti slučaj kao i kod prethodne funkcije za koju si pitao.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Nedelja, 18. Septembar 2016, 15:50

Nisam se snasao grafickom metodom. Dobijam neke decimalne vrijednosti koje je tesko unositi na grafik.
Pravio sam tabele i uzimao nekoliko vrijednosti za [inlmath]x[/inlmath] (koje pripadaju domenu) i racunao [inlmath]f(x)[/inlmath] i to sam mislio unijeti i dobiti oba grafika ali npr. za [inlmath]2\text{ arctg }3[/inlmath], dobijem [inlmath]143,130[/inlmath]. I kako da to unesem na grafik...
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Ilija » Nedelja, 18. Septembar 2016, 16:36

Pa nacrtaj ove dve funckije:
[dispmath]g(x)=\ln\frac{x-1}{x+1}\\
h(x)=2\text{ arctg }x[/dispmath] i videces da one nemaju presecnih tacaka, sto znaci da funckija [inlmath]f(x)[/inlmath] nema realnih nula. Nisu one nesto komplikovane mnogo za crtanje. Pogotovo ne ova druga.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

  • +1

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Nedelja, 18. Septembar 2016, 16:50

Daniel je napisao:Analitičkim putem, nikako, jer je to transcendentna jednačina.

Moram da se doreknem, zahvaljujući ideji koju mi je Ilija sad dao. :) Tačno je da se ovakve jednačine ne mogu rešiti analitičkim putem, ali se analitičkim putem (bez crtanja grafika ili numeričkih metoda) može dokazati da ova konkretna jednačina nema rešenje.

S obzirom na domen funkcije [inlmath](-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath], možemo dokazivanje razdvojiti na dva slučaja – [inlmath]x<-1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath].

[inlmath]x<-1:[/inlmath]
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}>1\quad\Longrightarrow\quad\ln\frac{x-1}{x+1}>0\\
\text{arctg }x<0\quad\Longrightarrow\quad2\text{ arctg }x<0[/dispmath] i, pošto su leva i desna strana jednačine suprotnog znaka za svako [inlmath]x[/inlmath] koje je manje od [inlmath]-1[/inlmath], znači da ne mogu biti jednake ni za jedno takvo [inlmath]x[/inlmath].

Slično i za slučaj [inlmath]x>1[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Nedelja, 18. Septembar 2016, 18:04

A zar za slucaj [inlmath]x>1[/inlmath] nece biti isti znak sa obe strane...
[inlmath]\text{arctg }x>0[/inlmath] pa je i [inlmath]2\text{ arctg }x>0[/inlmath]
[inlmath]\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath] pa je i [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath]
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Nedelja, 18. Septembar 2016, 18:19

Ako je [inlmath]\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath], ne mora značiti da je tada i [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath].
Štaviše, [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] svakako mora biti veće od nule da bi [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] postojao.
Priseti se za koje vrednosti numerusa je vrednost logaritma negativna.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Nedelja, 18. Septembar 2016, 19:13

Daniel je napisao:[inlmath]x<-1:[/inlmath]
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}>1[/dispmath]

A kako ovdje slijedi da je ovaj izraz bas veci od jedinice, a ne od nule?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Ilija » Nedelja, 18. Septembar 2016, 19:32

Za [inlmath]x<-1[/inlmath], numerus ce biti veci od jedinice. A kada je on veci od jedinice, logaritam ce biti veci od nule (tj. bice pozitivan).
Isto tako, za [inlmath]x>1[/inlmath] numerus logaritma bice izmedju nule i jedinice, a kada je on u tom intervalu, logaritam ce biti manji od nule (negativan).

Ako je numerus jednak jedinici, logaritam je nula.

To ti je sustina. Naravno, numerus o kom pricamo je [inlmath]\displaystyle\frac{x-1}{x+1}[/inlmath], i uslov za definisanost logaritma je da on bude veci od nule.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Nedelja, 18. Septembar 2016, 20:26

Jasno mi je kada je logaritam definisan i da je [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] numerus o kome pricamo, ali nije mi jasno kako zakljucujemo da je jedinica granica o kojoj se radi.
Kada bi ispitali znak, gledali bi kad je veci ili manji od nule.(mozda pitam glupo pitanje ali nikako da to skontam :( )
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sledeća

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 18. Avgust 2019, 22:01 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs