Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Nedelja, 18. Septembar 2016, 21:34

Kada je [inlmath]x<-1[/inlmath], tada su u razlomku [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] i brojilac i imenilac negativni. Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath](-1)[/inlmath] kako bismo dobili pozitivan brojilac i pozitivan imenilac, pri čemu se vrednost razlomka neće promeniti. Time ćemo dobiti [inlmath]\frac{-x+1}{-x-1}[/inlmath]. Odavde je jasno da je brojilac veći od imenioca, a kod razlomaka s pozitivnim brojiocem i imeniocem, kad im je brojilac veći od imenioca, važi da je vrednost takvih razlomaka veća od [inlmath]1[/inlmath].

Ili, možeš krenuti od pretpostavke [inlmath]\frac{x-1}{x+1}>1[/inlmath] koju treba dokazati. Pošto je [inlmath]x<-1[/inlmath], tada je imenilac negativan, pa se njegovim prelaskom na desnu stranu menja smer znaka nejednakosti: [inlmath]x-1<x+1[/inlmath]. Skratimo [inlmath]x[/inlmath] na levoj i [inlmath]x[/inlmath] na desnoj strani i dobijemo [inlmath]-1<1[/inlmath], što je tačan iskaz, čime je pretpostavka dokazana.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Nedelja, 18. Septembar 2016, 22:39

aha sad je jasno.
dalje
sa [inlmath]y[/inlmath] osom nema presjek jer se umjesto [inlmath]x[/inlmath] ne moze uvrstiti nula. Dobije se negativna vrijednost u numerusu logaritma.
Zatim, funkcija nije ni parna ni neparna funkcija.
I nisam siguran za znak. Sva je istog znaka jer ne sijece [inlmath]x[/inlmath] osu,ali ne znam iz cega da zakljucim dal je sva pozitivna ili sva negativna.
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +2

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Ilija » Nedelja, 18. Septembar 2016, 23:30

Pa funkcija nije na celom domenu istog znaka.
Ako ispitamo npr. gde je [inlmath]f(x)>0[/inlmath], to ce biti jednako:
[dispmath]\frac{1}{4}\ln\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{2}\text{arctg }x>0
\\\
\\\
\vdots
\\
\ln\frac{x-1}{x+1}>2\text{ arctg }x[/dispmath] Ako nacrtamo obe (a sto je utvrdjeno i do sad), vidimo da je funkcija [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] veca od arkusa na intevalu [inlmath]x<-1[/inlmath], a manja od arkusa na interalu [inlmath]x>1[/inlmath].

Sto znaci da je i [inlmath]f(x)[/inlmath] na intervalu [inlmath]x<-1[/inlmath] veca od [inlmath]0[/inlmath], a na intervalu [inlmath]x>1[/inlmath] manja od [inlmath]0[/inlmath].

E sad, vidim da je izgleda problem crtanje ove dve funkcije.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Nedelja, 18. Septembar 2016, 23:49

Takođe, nisi ni ovo ispravno zaključio:
ss_123 je napisao:Zatim, funkcija nije ni parna ni neparna funkcija.

:wrong:
Proveri još jednom.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 12:38

Pa jedino moze biti neparna, ali ne znam kako da izvucem minus ispred logaritma, jer se mnozenje u numerusu rastavlja kao zbir logaritama
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Ilija » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 12:48

Mogao bi da ispises svoj postupak, pa makar i pogresan, da mozemo da te ispravimo i ukazemo na greske. Ovako se to svodi samo na to da tebi nesto nije jasno iako si pokusao, a mi treba da sve ispisemo. Zamolio bih te da se malo i sam potrudis. :)

Da, funkcija je neparna, ali hajde da to i pokazemo.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

  • +1

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 13:08

Mala pomoć – iskoristi sledeće relacije:
[inlmath]\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}\\
\ln\frac{1}{a}=\ln a^{-1}=-\ln a[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 14:11

Uspio sam, trebalo je izvuci minus i skratiti. Nisam se sjetio toga, odnosno nije mi bilo ocigledno da ce biti neparna...

Za prvi izvod
[dispmath]f'(x)=\left(\frac{1}{4}\ln\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{2}\text{arctg}(x)\right)'[/dispmath] ja sam dobio:
[dispmath]f'(x)=\frac{2(x+1)}{4(x-1)(x+1)^2}-\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}[/dispmath] i kad sam sredio izraz dobio sam:
[dispmath]f'(x)=\frac{1}{\left(x^2-1\right)\left(1+x^2\right)}[/dispmath] I sad ako to izjednacim sa nulom, pomnozim sa imeniocem dobicu da je jedan jednako nula...
Jel to znaci da je funkcija sva pozitivna? Ili sam ja opet negdje pogrijesio?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod Daniel » Ponedeljak, 19. Septembar 2016, 14:55

Izvod si dobro odredio, ali nikako ne smeš mešati znak izvoda funkcije sa znakom same funkcije.
To su dve sasvim različite stvari.
Izvod funkcije predstavlja nagib grafika funkcije u nekoj tački. Pokušaj vizuelno da zamisliš (ili nacrtaš) – nagib funkcije u nekom intervalu može biti pozitivan a da se u tom intervalu grafik funkcije nalazi bilo iznad, bilo ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose. Isto i za negativan nagib.

Iz dobijenog izraza za prvi izvod vidimo da su i brojilac i imenilac pozitivni za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena (ako ti je lakše, možeš imenilac napisati i kao [inlmath]x^4-1[/inlmath], koristeći formulu za razliku kvadrata, [inlmath](a-1)(a+1)=a^2-1[/inlmath], gde je [inlmath]a=x^2[/inlmath]).

I, dakle, šta nam govori to što je prvi izvod pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Ispitivanje funkcije sa ln i arctg

Postod ss_123 » Utorak, 20. Septembar 2016, 00:07

Aha to nam govori da je sva rastuca. Malo sam pomijesao.
dalje
drugi izvod govori da je funkcija konveksna od minus beskonacno do nula a konkavna od nula do plus beskonacno. jer kad drugi izvod izjednacim dobijem da je [inlmath]x=0[/inlmath] ali nema tacke prevoja.
jesam li to dobro uradio.
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 13:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs