Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Povrsine funkcija vise promjenljivih

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Povrsine funkcija vise promjenljivih

Postod Littlefinger » Četvrtak, 19. Januar 2017, 23:32

Unaprijed se izvinjavam jer vjerujem da ovo nije prava oblast za postavljanje ovog zadatka, ali kako je dobro crtanje grafika 90% ovog zadatka i kako nijesam nasao bolji sub-forum da postavim zadatak odlucio sam se da ga ovdje postavim.


Zadatak glasi:

Izracunati povrsinu koju pravi kriva [inlmath]z^2=x^2+y^2\;(1)[/inlmath] unutar krive [inlmath]\left(x^2+y^2\right)=a\left(x^3+y^3\right)\;(2)[/inlmath]

Na kraju je rjesenje [inlmath]\displaystyle\frac{5\cdot a^2\cdot\left(\sqrt2\right)\cdot3.14}{8}[/inlmath].

Kako imam [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] probao sam sa polarnim i cilindricnim koordinatama, ali (vjerovatno zbog mog skromnog znanja u tim oblastima) nijesam mogao doci do rjesenja. Kada unvedem smjenu da je [inlmath]x=q\cdot\cos p[/inlmath] i [inlmath]y=q\cdot\sin p[/inlmath], za jednacinu [inlmath](2)[/inlmath] dobijam da u polarnim koordinatama ona postaje krug poluprecnika [inlmath]a[/inlmath]. Iskreno ne znam sta se tada desava sa konusom iz jednacine [inlmath](1)[/inlmath]. Da li on ostaje isti? Da li je ovaj postupak uopste logican, i kako dalje da nastavim? Takodje ako je moguce literatura koja bi pomogla da ovo gradivo bolje savladam.
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Povrsine funkcija vise promjenljivih

Postod Onomatopeja » Subota, 21. Januar 2017, 14:29

Prvo, ovo nisu jednacine krivih, nego povrsi (i tu je drasticna razlika). Takodje, nisi dobro napisao drugu povrs! Tacna jednacina je [inlmath](x^2+y^2)^2=a(x^3+y^3)[/inlmath] (ovo tvrdim na osnovnu krajnjeg resenja, jer za tvoju jednacinu se ne dobije ovo resenje (i mora da se petlja sa beta funkcijom da bi se nasli integrali, a za ovu sto sam sad napisao se dobije)).

Pa nista, ako te interesuje povrsina od [inlmath]z^2=x^2+y^2[/inlmath] unutar ovog „cilindra“ (jer ne zavisi od [inlmath]z[/inlmath], pa je u svakoj ravni paralelnoj sa [inlmath]xOy[/inlmath] ravni jednacina ista), to radimo sa povrsinskim integralom prve vrste i sama povrsina je jednaka
[dispmath]2\iint_D 1\cdot\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}\,dxdy=2\sqrt2\iint_Ddxdy=2\sqrt2P(D),[/dispmath] gde je [inlmath]P(D)[/inlmath] povrsina od projekcije na [inlmath]xOy[/inlmath] ravan (i to je zapravo povrsina koju obuhvata ova jednacina [inlmath](2)[/inlmath]), a [inlmath]2[/inlmath] ispred integrala je zbog toga sto sam ovaj integral racunao za deo povrsi [inlmath]z=\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath], tj. gornji konus, a za donji je isto, pa zato puta [inlmath]2[/inlmath].

Da bi nasao povrsinu iskoristis polarne koordinate (ugao nece biti pun krug, obrati paznju) i na kraju ces dobiti ovo resenje (za koje mi nije jasno sto su pisali [inlmath]3.14[/inlmath] umesto [inlmath]\pi[/inlmath]). Takodje, pretpostavio sam da je [inlmath]a>0[/inlmath], jer mi je to u jednom trenutku bitno (kod odredjivanja ugla), ali i za [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] koliko vidim ce sve fino proci (provere se preostali slucajevi).
 
Postovi: 593
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 561 puta

Re: Povrsine funkcija vise promjenljivih

Postod Littlefinger » Subota, 21. Januar 2017, 16:14

predposavljam da ugao kod polarnih se krece od [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath], jer funkcija [inlmath](2)[/inlmath] ne postoji u trecem kvadrantu?

Uglavnom meni je najveci problem da odredim granice integriranja, posebno sto mi se funkcija [inlmath](2)[/inlmath] cini kao prilicno neobicna kriva (tj nije pravilna i ne znam sta tacno mogu da radim sa njom). Kako da odredim granice integracije za "poluprecnik" u polarnim koordinatama?

Hvala unaprijed
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 22. Januar 2017, 19:55, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika!
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Povrsine funkcija vise promjenljivih

Postod Onomatopeja » Nedelja, 22. Januar 2017, 18:27

Nisi dobro odredio ugao, tacnije, nije tacno da se kriva ne nalazi samo u trecem kvadrantu (pri slucaju [inlmath]a>0[/inlmath]). Za granice od [inlmath]\rho[/inlmath] (ako uvedemo polarne smene [inlmath]x=\rho\cos\theta[/inlmath] i [inlmath]y=\rho\sin\theta[/inlmath] (oznake sa [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] koje si koristio su veoma neuobicajene)) se vidi da je donja granica nula (jer npr. tacka [inlmath](0,0)[/inlmath] pripada krivoj u [inlmath]xOy[/inlmath] ravni, a [inlmath]\rho[/inlmath] ispod nule ne ide (ako znamo sta ono geometrijski predstavlja, tj. da je to rastojanje)), a gornja granica se dobija kada se uvrste smene u [inlmath](2)[/inlmath] i odatle se izvuce dokle najvise ide [inlmath]\rho[/inlmath].
 
Postovi: 593
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 561 puta

Re: Povrsine funkcija vise promjenljivih

Postod Littlefinger » Ponedeljak, 23. Januar 2017, 05:34

Da sto se tice ugla previdio sam da lijeva strana je na kvadrat, tj da kriva postoji samo kada je desna strana veca od nule. Sto za [inlmath]a>0[/inlmath] je izmedju [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3\cdot\pi}{4}[/inlmath].

Dobio sam dosta cudan i dug integral na kraju koji je ukljucivao kosinus i sinus na sesti stepen ali sam na kraju dobio tacno rjesenje. Zahvaljujem se na pomoci i strpljenju.
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 22. Avgust 2019, 04:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs