Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Graf funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Re: Graf funkcije

Postod eseper » Utorak, 13. Avgust 2013, 15:04

evo i problema
[dispmath]f(x)=e^\frac{x^2-1}{x^2-4}[/dispmath]
U domeni su svi realni brojevi osim [inlmath]\pm 2[/inlmath].
[inlmath]2[/inlmath] je desna vertikalna asimptota
[inlmath]-2[/inlmath] je lijeva vertikalna asimptota

Ekstrem je [inlmath]0[/inlmath].

Sada, kada napravim tablicu koja se sastoji od: [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]-2[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]
(nula se dobilo iz [inlmath]-6x[/inlmath], a [inlmath]\pm 2[/inlmath] iz [inlmath]x^2-4[/inlmath]), dobijem ovako

[inlmath]\left<-\infty,-2\right>[/inlmath] raste
[inlmath]\left<-2,0\right>[/inlmath] pada (a trebalo bi također rasti)
[inlmath]\left<0,2\right>[/inlmath] raste (a trebalo bi padati)
[inlmath]\left<2,+\infty\right>[/inlmath] pada

U čemu je problem? Zbog čega mi je tablica dala krivi rezultat?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Graf funkcije

Postod Daniel » Utorak, 13. Avgust 2013, 15:26

Ne znam kako si došao do tog rezultata. Ako si ispravno našao prvi izvod ove funkcije, on će biti
[dispmath]f\:'\left(x\right)=-\frac{6x}{\left(x^2-4\right)^2}e^\frac{x^2-1}{x^2-4}[/dispmath]
pa, pošto su [inlmath]\left(x^2-4\right)^2[/inlmath] i [inlmath]e^\frac{x^2-1}{x^2-4}[/inlmath] uvek pozitivni, znak prvog izvoda će biti isti kao i znak izraza [inlmath]-6x[/inlmath], tj. znak prvog izvoda će biti suprotan znaku [inlmath]x[/inlmath]. Kad je [inlmath]x<0[/inlmath] izvod je pozitivan [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija je rastuća i, obratno, kad je [inlmath]x>0[/inlmath] izvod je negativan [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija je opadajuća.

Prekidne tačke u ovom slučaju ne predstavljaju granicu između rastućeg i opadajućeg (opadajućeg i rastućeg) intervala. Možda te to buni.

Ni tačka u kojoj je prvi izvod jednak nuli ne mora, u opštem slučaju, predstavljati granicu između rastućeg i opadajućeg (opadajućeg i rastućeg) intervala. Očigledan primer ti je [inlmath]f\left(x\right)=x^3[/inlmath] i tačka [inlmath]x=0[/inlmath], u kojoj prvi izvod jeste jednak nuli, ali to nije tačka ekstrema, već tačka infleksije, a funkcija je monotono rastuća na celom domenu realnih brojeva.


I, molim te, nemoj ovo pisati ovako: :)
eseper je napisao:[inlmath]2[/inlmath] je desna vertikalna asimptota
[inlmath]-2[/inlmath] je lijeva vertikalna asimptota

[inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath] nisu asimptote, već brojevi. :) Za vertikalne asimptote moraš naći koliko je

[inlmath]\lim\limits_{x\to-2^-}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to-2^+}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to 2^-}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to 2^+}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Graf funkcije

Postod eseper » Utorak, 13. Avgust 2013, 15:36

Prva derivacija mi je identična.

E, upravo me to buni. Onda, je li se prekidne točke uzimaju u obzir kada imamo obostranu vertikalnu asimptotu, ili ni tada ne mora? To nisam dokučio :roll: Po čemu ću znati da li ih trebam obuhvatiti u tablici?

Znam da je to nepravilno, ali bitno da se zna na što mislim. Često kao što si primjetio skratim na taj način iako ne bih trebao ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Graf funkcije

Postod Daniel » Utorak, 13. Avgust 2013, 16:16

Ako je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], onda je intuitivno jasno da prekidna tačka [inlmath]x=a[/inlmath] ne predstavlja granicu između različitih intervala monotonosti, već je funkcija opadajuća i levo i desno od te prekidne tačke.

Analogno tome (pa sad ide copy/paste s malim izmenama :) ), ako je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath], onda je intuitivno jasno da prekidna tačka [inlmath]x=a[/inlmath] ne predstavlja granicu između različitih intervala monotonosti, već je funkcija rastuća i levo i desno od te prekidne tačke.

Međutim, kada je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath], tada je intuitivno jasno da će funkcija levo od prekidne tačke [inlmath]x=a[/inlmath] biti opadajuća, a desno od te prekidne tačke će biti rastuća, te će ta prekidna tačka predstavljati granicu između opadajućeg i rastućeg intervala.

Isto tako, kada je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], tada je intuitivno jasno da će funkcija levo od prekidne tačke [inlmath]x=a[/inlmath] biti rastuća, a desno od te prekidne tačke će biti opadajuća, te će ta prekidna tačka predstavljati granicu između rastućeg i opadajućeg intervala.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Graf funkcije

Postod Daniel » Utorak, 13. Avgust 2013, 16:34

Znači, prekidne tačke funkcije su samo „kandidati“ da budu granice između različitih intervala monotonosti. A da li to zaista i jesu, to treba naknadno ispitati.
Isto, uostalom, kao što su „kandidati“ tačke u kojima je prvi izvod jednak nuli, ali tek kad ispitamo drugi izvod i ako je on različit od nule, znaćemo da se zaista radi o ekstremu.
A može funkcija da bude i neprekidna i da nema nijednu tačku u kojoj je [inlmath]f\:'\left(x\right)=0[/inlmath], pa da opet ima različite intervale monotonosti – jedan takav primer je funkcija [inlmath]f\left(x\right)=\left|x\right|[/inlmath], koja je neprekidna, prvi izvod joj ni u jednoj tački nije nula, ali u tački [inlmath]x=0[/inlmath] prvi izvod nije definisan i upravo ta tačka predstavlja granicu između opadajućeg i rastućeg intervala.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Graf funkcije

Postod eseper » Utorak, 13. Avgust 2013, 17:05

Hvala, sada mi je jasno ;)

Bome, druga derivacija za točke ekstrema je dosita komplicirana, ali uspio sam dobiti
[dispmath]x=\pm 2\sqrt{\frac{2}{3}}[/dispmath] i nacrtati graf :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Graf funkcije

Postod Daniel » Utorak, 13. Avgust 2013, 17:16

Grafik ima samo jednu tačku ekstrema, to je maksimum [inlmath]\left(0,\sqrt[4]e\right)[/inlmath], a to što si napisao, to su, valjda, [inlmath]x[/inlmath]-koordinate tačaka infleksije?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Graf funkcije

Postod eseper » Utorak, 13. Avgust 2013, 17:29

Tako je, infleksije :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Graf funkcije

Postod eseper » Petak, 30. Avgust 2013, 18:25

Kako bi izgledao graf funkcije [dispmath]f(x)=\sin(\arcsin x)[/dispmath] :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Graf funkcije

Postod Daniel » Petak, 30. Avgust 2013, 18:32

Sinus i arkus sinus su, ako se posmatra njihov interval definisanosti, međusobno inverzne funkcije, tako da će biti [inlmath]\sin\left(\arcsin x\right)=x[/inlmath] u onoj oblasti u kojoj je ta funkcija definisana.

E, sad, treba videti u kom intervalu je ta funkcija definisana, a to ti, pretpostavljam, nije problem. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs