Monotonost

PostPoslato: Utorak, 06. Februar 2018, 19:07
od tanganjika
Pozdrav, trebala bi mi pomoc oko pronalaženja monotonosti:
[dispmath]f(x)=x\cdot\ln\frac{x}{x-1}[/dispmath] Na kraju dobijem izvod
[dispmath]f'(x)=\frac{\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)\cdot(x-1)-1}{x-1}[/dispmath] E sad uopšte ne znam kako bih odredio nule, a gde raste i pada. Hvala unapred za pomoc :D

Re: Monotonost

PostPoslato: Sreda, 07. Februar 2018, 08:54
od Nađa
Meni prvi izvod ne ispada kao i tebi, evo sta sam ja dobila...
[dispmath]f'(x)=\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)-\frac{1}{x-1}[/dispmath] Nule i nemas u ovoj funkciji. Domen funkcije je [inlmath](-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/inlmath].
Mislim da je funkcija stalno rastuca.

Re: Monotonost

PostPoslato: Sreda, 07. Februar 2018, 12:12
od Daniel
@Nađa
Isti taj izvod je i tanganjika dobio.
Da, to je taj domen.
Nije stalno rastuća.

@tanganjika
Pošto je, dakle, domen [inlmath](-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/inlmath], možeš posmatrati odvojeno slučaj [inlmath]x\in(-\infty,0)[/inlmath] i slučaj [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath].
Npr. za slučaj [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath] imenilac je uvek pozitivan, a što se tiče brojioca,
[dispmath](x-1)\ln\frac{x}{x-1}-1=\ln\left(\frac{x-1+1}{x-1}\right)^{x-1}-1=\ln\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{x-1}-1[/dispmath] Smenom [inlmath]x-1=t,\;t\in(0,+\infty)[/inlmath] dobijamo [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)^t-1[/inlmath], pri čemu znamo da je funkcija [inlmath]\left(1+\frac{1}{t}\right)^t[/inlmath] monotono rastuća za [inlmath]t\in(0,+\infty)[/inlmath] i da joj je limes u pozitivnoj beskonačnosti jednak [inlmath]e[/inlmath], što znači da je vrednost te funkcije na intervalu [inlmath](0,+\infty)[/inlmath] uvek manja od [inlmath]e[/inlmath]. A pošto je [inlmath]\ln[/inlmath] monotono rastuća funkcija, to će i [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)^t[/inlmath] biti monotono rastuća i uvek manja od [inlmath]\ln e[/inlmath], tj. manja od [inlmath]1[/inlmath].
Prema tome, brojilac [inlmath]\ln\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{x-1}-1[/inlmath] uvek je na intervalu [inlmath](1,+\infty)[/inlmath] manji od nule, a pošto je imenilac na tom intervalu pozitivan, zaključujemo da je prvi izvod na tom intervalu uvek manji od nule, što znači da je funkcija na tom intervalu monotono opadajuća.

Za slučaj [inlmath]x\in(-\infty,0)[/inlmath] pogodno je uzeti smenu [inlmath]-(x-1)=t,\;t\in(1,+\infty)[/inlmath].