Limes prvog izvoda?

PostPoslato: Nedelja, 22. April 2018, 09:42
od Subject
Pozdrav.

Video sam da se u nekim zadacima trazi limes prvog izvoda u nekoj tacki? Sta on predstavlja graficki? Vidim da ima veze sa nekim uglom tangesa, ali ne razumem bas...

Re: Limes prvog izvoda?

PostPoslato: Nedelja, 22. April 2018, 12:22
od Daniel
Pa, kao što sigurno znaš, sâm izvod predstavlja nagib grafika funkcije u nekoj tački, a on se posmatra kao nagib tangente na grafik funkcije u toj tački. Tj. koeficijent pravca te tangente, a to je, opet, tangens ugla koji ta tangenta zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom.
A limes izvoda je onda, da tako kažem, limes tog nagiba kad se približavaš nekoj tački (obično onoj u kojoj funkcija nije definisana ili u kojoj nije diferencijabilna).
Npr. funkcija [inlmath]|\sin x|[/inlmath] – u tački [inlmath]x=0[/inlmath] ta funkcjia je definisana ali nije diferencijabilna. Njen levi limes izvoda jednak je [inlmath]-1[/inlmath], a desni limes izvoda jednak je [inlmath]1[/inlmath].
Uvek je, ne samo poželjno, već i po pravilima ovog foruma, da navedeš neki konkretan primer na koji se odnosi tvoje pitanje.

Re: Limes prvog izvoda?

PostPoslato: Nedelja, 22. April 2018, 16:09
od Subject
Izvinjavam se, ali smatrao sam da nije bilo potrebe. Hteo sam samo teorijsku osnovu.
To za nagib nisam znao. Ono sto ja znam to je tablica izvoda, i diferenciranje razlicitih oblika funkcija: parametarski, implicitno, itd...

grafik je bio:
[dispmath]y=\text{arcctg}\left|\frac{x-2}{x^2-1}\right|[/dispmath] Domen: [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,2]\cup[2,\infty)[/inlmath] ako sam dobro sredio.

Izvodi:
[dispmath]y'=\frac{x^2-4x+1}{\left(x^2-1\right)^2+(x-2)^2}[/dispmath][dispmath]y'=\frac{-x^2+4x-1}{\left(x^2-1\right)^2+(x-2)^2}[/dispmath] Nule prvog izvoda su: [inlmath]2+\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath]

U kojoj tacki znaci ja sad trazim limes prvog izvoda, da bi nasao taj ugao? tj nagib je: [inlmath]\alpha=\text{arctg}(u)[/inlmath]?
gde je [inlmath]u[/inlmath] recima: "limes tog izvoda u toj tacki" ako me razumete... :lol:

Drugi izvod je prekompleksan da se nadju nule jer dobijam polinom petog stepena. Pa sam nacrtao grafik bez prevojnih tacaka i da kazem da mi se 90% uklapalo.Tih 10% je sto grafik ima jedan "siljati deo" u [inlmath]\left(2,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], i jos neke sitne linijice.

Re: Limes prvog izvoda?

PostPoslato: Ponedeljak, 23. April 2018, 15:09
od Daniel
Subject je napisao:Domen: [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,2]\cup[2,\infty)[/inlmath] ako sam dobro sredio.

Nije netačno, ali si interval [inlmath](1,+\infty)[/inlmath] nepotrebno razdvojio na [inlmath](1,2]\cup[2,+\infty)[/inlmath]. Vidiš odavde da dvojka pripada domenu, tako da ceo domen možeš pisati kao [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Čak ne znam ni zašto si uopšte razmatrao dvojku. Bitno je samo da imenilac bude različit od nule, ne mora biti i brojilac. Arkus kotangens nule postoji, jednak je [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Dvojka će biti bitna tek kod izvoda, ne kod domena funkcije.

Subject je napisao:Izvodi:
[dispmath]y'=\frac{x^2-4x+1}{\left(x^2-1\right)^2+(x-2)^2}[/dispmath][dispmath]y'=\frac{-x^2+4x-1}{\left(x^2-1\right)^2+(x-2)^2}[/dispmath]

Ovaj prvi izraz za izvod važi za slučaj [inlmath]\frac{x-2}{x^2-1}>0[/inlmath], dok drugi izraz važi za slučaj [inlmath]\frac{x-2}{x^2-1}<0[/inlmath] (prepuštam tebi da odrediš koji su to intervali po [inlmath]x[/inlmath]).

Subject je napisao:U kojoj tacki znaci ja sad trazim limes prvog izvoda, da bi nasao taj ugao? tj nagib je: [inlmath]\alpha=\text{arctg}(u)[/inlmath]?
gde je [inlmath]u[/inlmath] recima: "limes tog izvoda u toj tacki" ako me razumete... :lol:

U onim tačkama koje predstavljaju granice intervala gorepomenutih slučajeva, jer u tim tačkama izvod ima prekide.
Ne treba da tražiš sâm ugao, potrebno je da nađeš tangens ugla, jer taj tangens zapravo predstavlja nagib, tj. izvod.

Subject je napisao:grafik ima jedan "siljati deo" u [inlmath]\left(2,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], i jos neke sitne linijice.

Grafik treba da ima ukupno tri „šiljata dela“, a jedan od njih je taj koji si naveo.

P.S. U Latexu ne treba za prvi izvod da pišeš y^{'}, već jednostavno y'. Apostrof se već nalazi dovoljno „visoko“, tako da ga ne treba još dodatno penjati u eksponent. :)