OK, će d'uradimo to, nije problem...
Parnost, neparnost:Funkcija je parna ako za svako [inlmath]x[/inlmath] važi
[dispmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/dispmath]
ili, grafički gledano, ako je njen grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu.
Neparna je ako za svako [inlmath]x[/inlmath] važi
[dispmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/dispmath]
ili, grafički gledano, ako je njen grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak.
(Odmah vidimo da ne može biti ni parna ni neparna, budući da joj prekidne tačke i nule nisu simetrične ni u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, ni u odnosu na koordinatni početak, ali ako se baš traži postupno, evo i postupka.)
Funkcija je, dakle, parna ako i samo ako za svako [inlmath]x[/inlmath] važi jednakost:
[dispmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\frac{\left(-x\right)^2-3\left(-x\right)-4}{\left(-x\right)-1}=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+3x-4}{-x-1}=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath][dispmath]\left(x^2+3x-4\right)\left(x-1\right)=\left(x^2-3x-4\right)\left(-x-1\right)[/dispmath][dispmath]x^3+3x^2-4x-x^2-3x+4=-x^3+3x^2+4x-x^2+3x+4[/dispmath][dispmath]2x^3-14x=0[/dispmath]
a ovo, očigledno, ne važi za svako [inlmath]x[/inlmath], pa
funkcija nije parna.
Vrlo sličnim postpukom, da ga sad ne ispisujem, dokazuje se da
nije ni neparna.
Znak funkcije:Određivanje znaka funkcije mnogo je lakše ako posmatramo njen faktorisani oblik:
[dispmath]y=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}[/dispmath]
Kritične tačke u kojima faktori ove funkcije menjaju znak su [inlmath]x=-1[/inlmath], [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=4[/inlmath], tako da ćemo znak funkcije ispitivati u svakom od intervala ograničenom ovim tačkama.
[inlmath]1^\circ\\
x\in\left(-\infty,-1\right)\\
\left(x+1\right)<0\\
\left(x-4\right)<0\\
\left(x-1\right)<0[/inlmath]
Brojilac će, prema tome, biti [inlmath]>0[/inlmath], a imenilac [inlmath]<0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y<0}[/inlmath]
[inlmath]2^\circ\\
x\in\left(-1,1\right)\\
\left(x+1\right)>0\\
\left(x-4\right)<0\\
\left(x-1\right)<0[/inlmath]
I brojilac i imenilac će biti [inlmath]<0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y>0}[/inlmath]
[inlmath]3^\circ\\
x\in\left(1,4\right)\\
\left(x+1\right)>0\\
\left(x-4\right)<0\\
\left(x-1\right)>0[/inlmath]
Brojilac će biti [inlmath]<0[/inlmath], a imenilac [inlmath]>0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y<0}[/inlmath]
[inlmath]4^\circ\\
x\in\left(4,+\infty\right)\\
\left(x+1\right)>0\\
\left(x-4\right)>0\\
\left(x-1\right)>0[/inlmath]
I brojilac i imenilac će biti [inlmath]>0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y>0}[/inlmath]
Ekstremne vrednosti:Za određivanje ekstremnih vrednosti (a i za monotonost) biće nam potreban prvi izvod funkcije. Njega ćemo lakše odrediti ako posmatramo nefaktorisan oblik funkcije:
[dispmath]y=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath][dispmath]y'=\left(\frac{x^2-3x-4}{x-1}\right)'=\frac{\left(x^2-3x-4\right)'\left(x-1\right)-\left(x^2-3x-4\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-3x-4\right)\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{2x^2-3x-2x+3-x^2+3x+4}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x+7}{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]
Budući da izraz u brojiocu, [inlmath]x^2-2x+7[/inlmath], nema nule (diskriminanta mu je negativna), ne postoje nule prvog izvoda, pa prema tome, ova funkcija
nema ekstremne vrednosti.
Monotonost:Monotonost zavisi od znaka prvog izvoda: ako je prvi izvod na nekom intervalu pozitivan, funkcija je na tom intervalu monotono rastuća; ako je prvi izvod na nekom intervalu negativan, funkcija je na tom intervalu monotono opadajuća.
Prvi izvod naše funkcije je
[dispmath]y'=\frac{x^2-2x+7}{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]
Kvadratni trinom u brojiocu nema nule, a koeficijent uz kvadratni član je pozitivan, pa će taj polinom uvek imati vrednost veću od nule.
U imeniocu imamo kvadrat binoma, a pošto je kvadrat, i imenilac će uvek biti pozitivan.
Zaključujemo da je prvi izvod ove funkcije uvek veći od nule, tj. da je funkcija uvek
monotono rastuća.
Prevojne tačke:Prevojne tačke su tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli.
Znači, tražimo drugi izvod:
[dispmath]y''=\left[\frac{x^2-2x+7}{\left(x-1\right)^2}\right]'=\frac{\left(x^2-2x+7\right)'\left(x-1\right)^2-\left(x^2-2x+7\right)\left[\left(x-1\right)^2\right]'}{\left(x-1\right)^4}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)^2-\left(x^2-2x+7\right)\cdot 2\left(x-1\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^4}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-2\left(x^2-2x+7\right)}{\left(x-1\right)^3}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x^2-2x-2x+2-2x^2+4x-14}{\left(x-1\right)^3}=\frac{-12}{\left(x-1\right)^3}[/dispmath]
Pošto je brojilac uvek različit od nule, znači da drugi izvod nema nule, pa zaključujemo da ova funkcija
nema prevojnih tačaka.
Konveksnost-konkavnost:(Ne znam da li se i ovo traži, nisi navela, ali kad smo već našli drugi izvod, onda je i ovo lako.)Ako je drugi izvod na nekom intervalu manji od nule, funkcija je na tom intervalu konveksna (ispupčena).
Ako je drugi izvod na nekom intervalu veći od nule, funkcija je na tom intervalu konkavna (udubljena).
Drugi izvod naše funkcije je
[dispmath]y''=\frac{-12}{\left(x-1\right)^3}[/dispmath]
Za [inlmath]x\in\left(-\infty,1\right)[/inlmath] imenilac je manji od nule, a pošto je i brojilac manji od nule, drugi izvod je pozitivan, pa je funkcija
konkavna.
Za [inlmath]x\in\left(1,+\infty\right)[/inlmath] imenilac je veći od nule, a pošto je brojilac manji od nule, drugi izvod je negativan, pa je funkcija
konveksna.