Eh, šta da ti kažem, izgrešio si poprilično.
Idemo redom...
Domen si ispravno odredio, ali:
[inlmath]x^2\ge 1\quad\Rightarrow\quad x\ge\pm 1[/inlmath]
– ovo se ne sme ovako pisati.
[inlmath]x^2\ge 1\quad\Rightarrow\quad\left|x\right|\ge 1[/inlmath] – ovako bi bilo pravilno.
V.A.: Tačno je da ne postoje, ali ti je postupak problematičan.
Pošto funkcija u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] nije definisana, ne treba da tražiš vertikalne asimptote [inlmath]\lim\limits_{x\to -1^+}f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to 1^-}f\left(x\right)[/inlmath], već samo [inlmath]\lim\limits_{x\to -1^-}f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to 1^+}f\left(x\right)[/inlmath]. A ako ipak tražiš [inlmath]\lim\limits_{x\to -1^+}f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to 1^-}f\left(x\right)[/inlmath] i dobiješ neke definisane vrednosti, znači da si negde napravio grešku.
Argument logaritma se u okolini [inlmath]-1[/inlmath] ne svodi na [inlmath]\frac{1}{1}[/inlmath], kako si napisao.
H.A.: Tačno je da ne postoje, ali, ne valja ti predznak koji si dobio tražeći desnu H.A. Ako nigde u izrazu za ovu funkciju ne figuriše [inlmath]x[/inlmath], već samo [inlmath]x^2[/inlmath], logično je da je funkcija parna, tj. da joj je grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu. Pa ako je parna, može li se desiti da je [inlmath]\lim\limits_{x\to -\infty}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath], a [inlmath]\lim\limits_{x\to +\infty}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath]?
A i možeš uporediti te vrednosti koje si dobio, s onim što si na kraju (ispravno) nacrtao na grafiku.
K.A.: Takođe ti ne valjaju predznaci, ni u postupku za levu, ni u postupku za desnu kosu asimptotu.
Napisao si i [inlmath]\ln 0=+\infty[/inlmath], što predstavlja grubu grešku.
Ako si već konstatovao da [inlmath]k[/inlmath] ne postoji, zašto si tražio [inlmath]l[/inlmath]? I di ti je u izrazu za [inlmath]l[/inlmath] nestalo [inlmath]k[/inlmath]?
I vodi računa, kad tražiš limes u negativnim vrednostima [inlmath]x[/inlmath], tada ne smeš [inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] pisati kao [inlmath]x[/inlmath]. Po definiciji je [inlmath]\sqrt{x^2}=\left|x\right|[/inlmath], a za negativne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] to je jednako [inlmath]-x[/inlmath].
Prvi izvod – opet si nepotrebno iskomplikovao:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=e[/dispmath][dispmath]1=e\cdot\sqrt{x^2-1}[/dispmath][dispmath]1=e^2\cdot\left(x^2-1\right)[/dispmath][dispmath]1=e^2x^2-e^2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
Ne rešava se jednačina ovako. Ono što je poznato grupiše se na jednu stranu, ono što je nepoznato, na drugu. Znači,
[dispmath]\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=e[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{e}[/dispmath][dispmath]x^2-1=\frac{1}{e^2}[/dispmath][dispmath]x^2=1+\frac{1}{e^2}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
Grafik: Sve OK, osim:
[dispmath]T_\mathrm{max}\left(-\frac{\sqrt{1+e^2}}{e},\approx {\color{red}-}0,37\right)[/dispmath]
Kako sad taj minus,
kad se lepo na grafiku vidi da u oba maximuma funkcija ima pozitivnu vrednost?