Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Funkcija s kosinusima

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Nedelja, 20. Januar 2013, 17:46

Pomoć!

Odrediti domenu, temeljni period, parnost, nultočke, asimptote, intervale monotonosti i zakrivljenosti (minimum, maksimum i infleksiju) te nacrtati graf.
[dispmath]f(x)=\cos^2x+\cos(3x)[/dispmath]
Domena: svi realni brojevi
Parnost: Parna funkcija
Temeljni period: [inlmath]2\pi[/inlmath]
Nultočke: E ovdje sam zapeo. Kako ih dobiti?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Milovan » Nedelja, 20. Januar 2013, 18:40

Izjednačiš to sa nulom.
[dispmath]\cos^2 x+\cos 3x=0[/dispmath]
Iskoristiš da je:
[dispmath]\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x[/dispmath]
(ako ne znaš ovu formulu, možeš je izvesti preko adicionih koristeći: [inlmath]\cos 3x=\cos(2x+x)[/inlmath])
Vratiš to u polaznu jednačinu i dobiješ:
[dispmath]\cos^2 x+4\cos^3 x-3\cos x=0\\
\cos x(\cos x+4\cos^2 x-3)=0[/dispmath]
Odatle imaš mogućnost da je [inlmath]\cos x=0[/inlmath], i rešiš jednačinu.
Jednačinu [inlmath]\cos x+4\cos^2 x-3=0[/inlmath] ćeš smenom [inlmath]\cos x=t[/inlmath] svesti na kvadratnu
[dispmath]4t^2+t-3=0[/dispmath]
čija su rešenja:
[dispmath]t_1=-1,\;t_2=\frac{3}{4}[/dispmath]
Vratiš smenu, itd.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Nedelja, 20. Januar 2013, 19:09

Hvala. Tako sam i mislio da se radi, ali zašto ne provjeriti. :)

Pošto je period [inlmath]2\pi[/inlmath], imat ćemo (nadam se točno) 4 nultočke.

[inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]\arccos\left(\frac{3}{4}\right)[/inlmath] (?)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Milovan » Nedelja, 20. Januar 2013, 19:34

Ovo što si naveo jesu nule funkcije, ali ih ima još, baš zato što je kosinus periodična funkcija.
Tako je recimo [inlmath]\pi[/inlmath] rešenje ove jednačine, ali i [inlmath]\pi+2n\pi[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] – ceo broj.
Tako da je broj nula beskonačan.
Konačan broj nula možeš imati ako posmatraš određeni interval, ako je recimo naglašeno da je domen funkcije ograničen na [inlmath][0,\pi].[/inlmath] (primera radi)
Ako nije naglašeno kakav je domen, onda u njega uključujemo sve vrednosti za koje je funkcija definisana.
Doduše, za skiciranje grafika ti treba nekoliko nula , ali kada ih računaš moraš navesti obrasce koji daju sve postojeće nule.
I još jedna mala napomena, pošto si (u poslednjoj poruci) napisao da je period kosinusne funkcije [inlmath]2\pi[/inlmath], to je njen osnovni (temeljni) period, dok je period zapravo [inlmath]2k\pi[/inlmath].
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Nedelja, 20. Januar 2013, 19:38

Hvala na odgovoru :)

Da, podrazumijeva se da ih ima još jer se funkcija ponavlja. :) Ali ove su dovoljne za skicu :) E da. temeljni period bi bio [inlmath]2k\pi[/inlmath].

Kasnije ću probati ekstreme i intervale pa ću napisati ovde što sam dobio ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +2

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Milovan » Nedelja, 20. Januar 2013, 19:49

Ne, baš naprotiv, prvo si dobro napisao da je temeljni period [inlmath]2\pi[/inlmath], ali si onda napravio lapsus u sledećem postu da je to i period. Period je ovo drugo.
Period [inlmath]P[/inlmath] je zabravo broj za koji važi [inlmath]f(P+x)=f(x)[/inlmath]. Osnovni (temeljni) period je najmanje pozitivna vrednost [inlmath]P[/inlmath] za koju je taj uslov ispunjen. Zato je temeljni period jedinstven, a period [inlmath]P[/inlmath] obuhvata više vrednosti.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Nedelja, 20. Januar 2013, 20:31

Tako je ;)

Išao sam tražiti ekstreme, ali bome namučih se sa sređivanjem izraza. Zato ih ne želim tražiti prije nego mi netko potvrdi da je ovo točno:
[dispmath]f'(x)=-2\sin 2x-3\sin(3x)[/dispmath]
Sređivanjem, tj. rastavljanjem na adicijske formule [inlmath]\sin(3x)[/inlmath] dobio sam ovo:
[dispmath]f'(x)=\sin x[-4\cos x+3-12\cos^2x][/dispmath]
:yawn:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Daniel » Nedelja, 20. Januar 2013, 20:57

Prvi izvod treba da ti bude [inlmath]-\sin 2x-3\sin 3x[/inlmath], tj. bez dvojke ispred [inlmath]\sin 2x[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7779
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Nedelja, 20. Januar 2013, 20:59

Tako je, dodao dvojku bez potrebe :S Uh, sada to treba sve ispočetka....
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Ponedeljak, 21. Januar 2013, 17:48

Jel može netko izračunati ovo i napisati izraz kada se umjesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrsti [inlmath]t[/inlmath], da usporedim, jer mi nikako ne ispadaju lijepi brojevi...
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sledeća

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 14. Decembar 2019, 03:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs