Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Funkcija s kosinusima

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Daniel » Ponedeljak, 21. Januar 2013, 22:21

eseper je napisao:Jel može netko izračunati ovo i napisati izraz kada se umjesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrsti [inlmath]t[/inlmath], da usporedim, jer mi nikako ne ispadaju lijepi brojevi...

Možeš li da pojasniš/preciziraš šta tačno treba izračunati i kako glasi taj izraz u kome treba uvesti smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Milovan » Utorak, 22. Januar 2013, 14:20

Verovatno misli na [inlmath]-\sin 2x-3\sin 3x=0[/inlmath].
[dispmath]3\sin^3 x-9\sin x\cos^2 x-2\sin x\cos x=0\\
\sin x\left(3\sin^2 x-9\cos^2 x-2\cos x\right)=0\\
\sin x\left(3-12\cos^2 x-2\cos x\right)=0[/dispmath]
Imamo opciju da je [inlmath]\sin x=0[/inlmath] kao i [inlmath]3-12\cos^2 x-2\cos x=0[/inlmath]
Smena [inlmath]\cos x=t[/inlmath] daje [inlmath]-12t^2-2t+3=0[/inlmath], odnosno [inlmath]12t^2+2t-3=0[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]t_{1/2}=\frac{1}{12}\left(-1\pm\sqrt{37}\right)[/inlmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Utorak, 22. Januar 2013, 21:59

Tako je @Milovan. Hvala, onda mi zadatak ipak nije kriv :D

Evo sljedećeg kojeg sam riješio i dobio ove parametre.
[dispmath]f(x)=2\sin 2x+\sin 4x[/dispmath]
1. Područje definicije funkcije: Svi realni brojevi.
2. Parnost i neparnost: funkcija ne neparna.
3. Periodičnost: Dovoljno je ispitati tok funkcije u periodu [inlmath]\left[0,\pi\right>[/inlmath]
4. Nultočke: [inlmath]x=0,\;x=\frac{\pi}{2}[/inlmath]
5. Asimptote: nema asimptota
6.
Prva derivacija: [inlmath]4(\cos 2x+\cos 4x)[/inlmath]
Ekstremi:
    [inlmath]T_\mbox{max}\left(\frac{\pi}{6},3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_\mbox{max}\left(\frac{5\pi}{6},-3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]
7. Točke infleksije:
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left(\frac{\pi}{2},0\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left[\arccos\left(\frac{-1}{4}\right),?\right][/inlmath]

Za sve sam poprilično uvjeren da je ispravno osim druge točke infleksije, pa ako netko može provjeriti i potvrditi. :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +2

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Daniel » Utorak, 22. Januar 2013, 22:19

eseper je napisao:2. Parnost i neparnost: funkcija ne neparna.

Pretpostavljam da je ovo typo, funkcija je, naravno, neparna.

eseper je napisao:Ekstremi:
    [inlmath]T_\mbox{max}\left(\frac{\pi}{6}, 3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_{\color{red}\mbox{max}}\left(\frac{5\pi}{6},-3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]

Ovo drugo je minimum, to je očigledno. Inače su vrednosti tačne.

eseper je napisao:7. Točke infleksije:
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left(\frac{\pi}{2},0\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left[\arccos\left(\frac{-1}{4}\right),?\right][/inlmath]

Fali ti još tačka infleksije za [inlmath]x=0[/inlmath], a kad se reši [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{4}[/inlmath] rešenje nije [inlmath]x=\arccos\frac{-1}{4}[/inlmath], već su rešenja [inlmath]x=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right)[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right)[/inlmath].
Znači, ukupno 4 tačke infleksije na intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath].

Sve ostalo što si napisao je OK. :handgestures-thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Utorak, 22. Januar 2013, 22:26

Da, to drugo je min (copy-paste :P ) i funkcija je neparna. Ok, riješit ću točke infleksije ispočetka i kad stignem staviti graf (u ogromnoj sam gužvi :? ) ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod eseper » Ponedeljak, 28. Januar 2013, 19:57

Ako ti ne bi bio problem još jednom objasnit ovo posljednje u vezi s arcucosinusom, kako smo dobili i kako naći [inlmath]y[/inlmath]-točku. Hvala.
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +2

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Daniel » Utorak, 29. Januar 2013, 10:39

Treba da zamisliš trigonometrijski krug. Ako je kosinus nekog ugla negativan, onda taj ugao mora biti u 2. ili u 3. kvadrantu.
U ovoj temi imaš i tablicu koja pokazuje vezu između uglova u raznim kvadrantima s uglovima u 1. kvadrantu (tj. s oštrim uglovima).
[dispmath]-\cos x=\cos\left(\pi-x\right)=\cos\left(\pi+x\right)[/dispmath]
pa, prema tome, ako je [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{4}[/inlmath], tada je i
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\cos\left(\pi-2x_1\right)=\frac{1}{4},\quad\cos\left(\pi+2x_2\right)=\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]\pi-2x_1=\arccos\frac{1}{4}+2k\pi,\quad\pi+2x_2=\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\right),\quad x_2=\frac{1}{2}\left(-\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\right)[/dispmath]
Pošto tražimo tačke infleksije samo u intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath], rešenja svodimo na
[dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right),\quad x_2=\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right)[/dispmath]
Sada ide nalaženje [inlmath]y[/inlmath]-koordinata ove dve prevojne tačke (za preostale dve si ih već odredio):

Jedan način je da dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstimo u izraz za samu funkciju:

[inlmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+\sin 4x[/inlmath]

ali ćemo onda dobiti oblik tipa sinus arkus kosinusa, što baš nije najpreglednije rešenje.

Zato je to bolje uraditi na drugi način. Iskoristićemo izraz
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}[/dispmath]
pa ćemo ga transformisati:
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\pm\sqrt{1-\sin^2 2x}=\frac{1}{4}[/dispmath]
Posle kvadriranja:
[dispmath]1-\sin^2 2x=\frac{1}{16}[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x=1-\frac{1}{16}[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{16}}[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\pm\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath]
S ovim plusem i minusom ispred korena treba biti obazriv i tačno odrediti kad se koristi minus, a kad plus.
[dispmath]x_1\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad 2x_1\in\left(0,\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_1>0\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_1=+\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath][dispmath]x_2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\quad\Rightarrow\quad 2x_2\in\left(\pi,2\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_2<0\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_2=-\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath]
Izraz za vrednost funkcije malo prilagodimo:
[dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+\sin 4x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+2\sin 2x\cos2x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x\left(1+\cos2x\right)[/dispmath]
i sad uvrstimo x-koordinate rešenja:
[dispmath]f\left(x_1\right)=2\sin 2x_1\left(1+\cos2x_1\right)=2\frac{1}{4}\sqrt{15}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}\sqrt{15}[/dispmath][dispmath]f\left(x_2\right)=2\sin 2x_2\left(1+\cos2x_2\right)=2\left(-\frac{1}{4}\sqrt{15}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{8}\sqrt{15}[/dispmath]

Prema tome, dve (od ukupno četiri) tačke infleksije na intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]\left[\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right),\frac{3}{8}\sqrt{15}\right][/dispmath][dispmath]\left[\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right),-\frac{3}{8}\sqrt{15}\right][/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod kad » Nedelja, 12. Jun 2016, 21:36

[dispmath]f(x)=\cos^2x[/dispmath][dispmath]f(x)=\cos x\cdot\cos x[/dispmath][dispmath]f'(x)=-\sin x\cdot\cos x+\cos x\cdot(-\sin x)[/dispmath][dispmath]f'(x)=\cos x\cdot(-\sin x-\sin x)[/dispmath][dispmath]f'(x)=\cos x\cdot(-2\sin x)[/dispmath][dispmath]f'(x)=-\sin 2x[/dispmath]
Jel ovaj nacin ok ili moze brze?
kad  OFFLINE
 
Postovi: 52
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Herien Wolf » Nedelja, 12. Jun 2016, 21:43

[dispmath]f\left(x\right)=\cos^2x\\
f'\left(x\right)=-2\cos x\sin x\\
\Rightarrow\quad f'\left(x\right)=-\sin2x[/dispmath]
Primena izvoda složene funkcije
[dispmath]\left(u^n\right)'=nu^{n-1}\cdot u'[/dispmath]
Poslednji put menjao desideri dana Subota, 22. Oktobar 2016, 18:58, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklanjanje suvišnog x u trećem redu posta odozgo.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

Re: Funkcija s kosinusima

Postod Daniel » Utorak, 14. Jun 2016, 13:45

A možeš i preko polovine ugla:
[dispmath]\left(\cos^2x\right)'=\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right)'=\frac{1}{2}\left(1+\cos2x\right)'=\frac{1}{2}\left(-\sin2x\right)\cdot\left(2x\right)'=\frac{1}{\cancel2}\left(-\sin2x\right)\cdot\cancel2=-\sin2x[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7682
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Prethodna

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 22. Avgust 2019, 04:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs