Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 17:46
od eseper
Pomoć!

Odrediti domenu, temeljni period, parnost, nultočke, asimptote, intervale monotonosti i zakrivljenosti (minimum, maksimum i infleksiju) te nacrtati graf.
[dispmath]f(x)=\cos^2x+\cos(3x)[/dispmath]
Domena: svi realni brojevi
Parnost: Parna funkcija
Temeljni period: [inlmath]2\pi[/inlmath]
Nultočke: E ovdje sam zapeo. Kako ih dobiti?

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 18:40
od Milovan
Izjednačiš to sa nulom.
[dispmath]\cos^2 x+\cos 3x=0[/dispmath]
Iskoristiš da je:
[dispmath]\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x[/dispmath]
(ako ne znaš ovu formulu, možeš je izvesti preko adicionih koristeći: [inlmath]\cos 3x=\cos(2x+x)[/inlmath])
Vratiš to u polaznu jednačinu i dobiješ:
[dispmath]\cos^2 x+4\cos^3 x-3\cos x=0\\
\cos x(\cos x+4\cos^2 x-3)=0[/dispmath]
Odatle imaš mogućnost da je [inlmath]\cos x=0[/inlmath], i rešiš jednačinu.
Jednačinu [inlmath]\cos x+4\cos^2 x-3=0[/inlmath] ćeš smenom [inlmath]\cos x=t[/inlmath] svesti na kvadratnu
[dispmath]4t^2+t-3=0[/dispmath]
čija su rešenja:
[dispmath]t_1=-1,\;t_2=\frac{3}{4}[/dispmath]
Vratiš smenu, itd.

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 19:09
od eseper
Hvala. Tako sam i mislio da se radi, ali zašto ne provjeriti. :)

Pošto je period [inlmath]2\pi[/inlmath], imat ćemo (nadam se točno) 4 nultočke.

[inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]\arccos\left(\frac{3}{4}\right)[/inlmath] (?)

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 19:34
od Milovan
Ovo što si naveo jesu nule funkcije, ali ih ima još, baš zato što je kosinus periodična funkcija.
Tako je recimo [inlmath]\pi[/inlmath] rešenje ove jednačine, ali i [inlmath]\pi+2n\pi[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] – ceo broj.
Tako da je broj nula beskonačan.
Konačan broj nula možeš imati ako posmatraš određeni interval, ako je recimo naglašeno da je domen funkcije ograničen na [inlmath][0,\pi].[/inlmath] (primera radi)
Ako nije naglašeno kakav je domen, onda u njega uključujemo sve vrednosti za koje je funkcija definisana.
Doduše, za skiciranje grafika ti treba nekoliko nula , ali kada ih računaš moraš navesti obrasce koji daju sve postojeće nule.
I još jedna mala napomena, pošto si (u poslednjoj poruci) napisao da je period kosinusne funkcije [inlmath]2\pi[/inlmath], to je njen osnovni (temeljni) period, dok je period zapravo [inlmath]2k\pi[/inlmath].

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 19:38
od eseper
Hvala na odgovoru :)

Da, podrazumijeva se da ih ima još jer se funkcija ponavlja. :) Ali ove su dovoljne za skicu :) E da. temeljni period bi bio [inlmath]2k\pi[/inlmath].

Kasnije ću probati ekstreme i intervale pa ću napisati ovde što sam dobio ;)

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 19:49
od Milovan
Ne, baš naprotiv, prvo si dobro napisao da je temeljni period [inlmath]2\pi[/inlmath], ali si onda napravio lapsus u sledećem postu da je to i period. Period je ovo drugo.
Period [inlmath]P[/inlmath] je zabravo broj za koji važi [inlmath]f(P+x)=f(x)[/inlmath]. Osnovni (temeljni) period je najmanje pozitivna vrednost [inlmath]P[/inlmath] za koju je taj uslov ispunjen. Zato je temeljni period jedinstven, a period [inlmath]P[/inlmath] obuhvata više vrednosti.

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 20:31
od eseper
Tako je ;)

Išao sam tražiti ekstreme, ali bome namučih se sa sređivanjem izraza. Zato ih ne želim tražiti prije nego mi netko potvrdi da je ovo točno:
[dispmath]f'(x)=-2\sin 2x-3\sin(3x)[/dispmath]
Sređivanjem, tj. rastavljanjem na adicijske formule [inlmath]\sin(3x)[/inlmath] dobio sam ovo:
[dispmath]f'(x)=\sin x[-4\cos x+3-12\cos^2x][/dispmath]
:yawn:

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 20:57
od Daniel
Prvi izvod treba da ti bude [inlmath]-\sin 2x-3\sin 3x[/inlmath], tj. bez dvojke ispred [inlmath]\sin 2x[/inlmath].

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 20. Januar 2013, 20:59
od eseper
Tako je, dodao dvojku bez potrebe :S Uh, sada to treba sve ispočetka....

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Ponedeljak, 21. Januar 2013, 17:48
od eseper
Jel može netko izračunati ovo i napisati izraz kada se umjesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrsti [inlmath]t[/inlmath], da usporedim, jer mi nikako ne ispadaju lijepi brojevi...

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Ponedeljak, 21. Januar 2013, 21:21
od Daniel
eseper je napisao:Jel može netko izračunati ovo i napisati izraz kada se umjesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrsti [inlmath]t[/inlmath], da usporedim, jer mi nikako ne ispadaju lijepi brojevi...

Možeš li da pojasniš/preciziraš šta tačno treba izračunati i kako glasi taj izraz u kome treba uvesti smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath]?

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Utorak, 22. Januar 2013, 13:20
od Milovan
Verovatno misli na [inlmath]-\sin 2x-3\sin 3x=0[/inlmath].
[dispmath]3\sin^3 x-9\sin x\cos^2 x-2\sin x\cos x=0\\
\sin x\left(3\sin^2 x-9\cos^2 x-2\cos x\right)=0\\
\sin x\left(3-12\cos^2 x-2\cos x\right)=0[/dispmath]
Imamo opciju da je [inlmath]\sin x=0[/inlmath] kao i [inlmath]3-12\cos^2 x-2\cos x=0[/inlmath]
Smena [inlmath]\cos x=t[/inlmath] daje [inlmath]-12t^2-2t+3=0[/inlmath], odnosno [inlmath]12t^2+2t-3=0[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]t_{1/2}=\frac{1}{12}\left(-1\pm\sqrt{37}\right)[/inlmath]

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Utorak, 22. Januar 2013, 20:59
od eseper
Tako je @Milovan. Hvala, onda mi zadatak ipak nije kriv :D

Evo sljedećeg kojeg sam riješio i dobio ove parametre.
[dispmath]f(x)=2\sin 2x+\sin 4x[/dispmath]
1. Područje definicije funkcije: Svi realni brojevi.
2. Parnost i neparnost: funkcija ne neparna.
3. Periodičnost: Dovoljno je ispitati tok funkcije u periodu [inlmath]\left[0,\pi\right>[/inlmath]
4. Nultočke: [inlmath]x=0,\;x=\frac{\pi}{2}[/inlmath]
5. Asimptote: nema asimptota
6.
Prva derivacija: [inlmath]4(\cos 2x+\cos 4x)[/inlmath]
Ekstremi:
    [inlmath]T_\mbox{max}\left(\frac{\pi}{6},3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_\mbox{max}\left(\frac{5\pi}{6},-3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]
7. Točke infleksije:
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left(\frac{\pi}{2},0\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left[\arccos\left(\frac{-1}{4}\right),?\right][/inlmath]

Za sve sam poprilično uvjeren da je ispravno osim druge točke infleksije, pa ako netko može provjeriti i potvrditi. :)

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Utorak, 22. Januar 2013, 21:19
od Daniel
eseper je napisao:2. Parnost i neparnost: funkcija ne neparna.

Pretpostavljam da je ovo typo, funkcija je, naravno, neparna.

eseper je napisao:Ekstremi:
    [inlmath]T_\mbox{max}\left(\frac{\pi}{6}, 3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_{\color{red}\mbox{max}}\left(\frac{5\pi}{6},-3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/inlmath]

Ovo drugo je minimum, to je očigledno. Inače su vrednosti tačne.

eseper je napisao:7. Točke infleksije:
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left(\frac{\pi}{2},0\right)[/inlmath]
    [inlmath]T_\mbox{inf}\left[\arccos\left(\frac{-1}{4}\right),?\right][/inlmath]

Fali ti još tačka infleksije za [inlmath]x=0[/inlmath], a kad se reši [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{4}[/inlmath] rešenje nije [inlmath]x=\arccos\frac{-1}{4}[/inlmath], već su rešenja [inlmath]x=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right)[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right)[/inlmath].
Znači, ukupno 4 tačke infleksije na intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath].

Sve ostalo što si napisao je OK. :handgestures-thumbup:

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Utorak, 22. Januar 2013, 21:26
od eseper
Da, to drugo je min (copy-paste :P ) i funkcija je neparna. Ok, riješit ću točke infleksije ispočetka i kad stignem staviti graf (u ogromnoj sam gužvi :? ) ;)

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Januar 2013, 18:57
od eseper
Ako ti ne bi bio problem još jednom objasnit ovo posljednje u vezi s arcucosinusom, kako smo dobili i kako naći [inlmath]y[/inlmath]-točku. Hvala.

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Utorak, 29. Januar 2013, 09:39
od Daniel
Treba da zamisliš trigonometrijski krug. Ako je kosinus nekog ugla negativan, onda taj ugao mora biti u 2. ili u 3. kvadrantu.
U ovoj temi imaš i tablicu koja pokazuje vezu između uglova u raznim kvadrantima s uglovima u 1. kvadrantu (tj. s oštrim uglovima).
[dispmath]-\cos x=\cos\left(\pi-x\right)=\cos\left(\pi+x\right)[/dispmath]
pa, prema tome, ako je [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{4}[/inlmath], tada je i
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\cos\left(\pi-2x_1\right)=\frac{1}{4},\quad\cos\left(\pi+2x_2\right)=\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]\pi-2x_1=\arccos\frac{1}{4}+2k\pi,\quad\pi+2x_2=\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\right),\quad x_2=\frac{1}{2}\left(-\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\right)[/dispmath]
Pošto tražimo tačke infleksije samo u intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath], rešenja svodimo na
[dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right),\quad x_2=\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right)[/dispmath]
Sada ide nalaženje [inlmath]y[/inlmath]-koordinata ove dve prevojne tačke (za preostale dve si ih već odredio):

Jedan način je da dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstimo u izraz za samu funkciju:

[inlmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+\sin 4x[/inlmath]

ali ćemo onda dobiti oblik tipa sinus arkus kosinusa, što baš nije najpreglednije rešenje.

Zato je to bolje uraditi na drugi način. Iskoristićemo izraz
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}[/dispmath]
pa ćemo ga transformisati:
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\pm\sqrt{1-\sin^2 2x}=\frac{1}{4}[/dispmath]
Posle kvadriranja:
[dispmath]1-\sin^2 2x=\frac{1}{16}[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x=1-\frac{1}{16}[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{16}}[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\pm\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath]
S ovim plusem i minusom ispred korena treba biti obazriv i tačno odrediti kad se koristi minus, a kad plus.
[dispmath]x_1\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad 2x_1\in\left(0,\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_1>0\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_1=+\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath][dispmath]x_2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\quad\Rightarrow\quad 2x_2\in\left(\pi,2\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_2<0\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_2=-\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath]
Izraz za vrednost funkcije malo prilagodimo:
[dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+\sin 4x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+2\sin 2x\cos2x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x\left(1+\cos2x\right)[/dispmath]
i sad uvrstimo x-koordinate rešenja:
[dispmath]f\left(x_1\right)=2\sin 2x_1\left(1+\cos2x_1\right)=2\frac{1}{4}\sqrt{15}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}\sqrt{15}[/dispmath][dispmath]f\left(x_2\right)=2\sin 2x_2\left(1+\cos2x_2\right)=2\left(-\frac{1}{4}\sqrt{15}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{8}\sqrt{15}[/dispmath]

Prema tome, dve (od ukupno četiri) tačke infleksije na intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]\left[\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right),\frac{3}{8}\sqrt{15}\right][/dispmath][dispmath]\left[\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right),-\frac{3}{8}\sqrt{15}\right][/dispmath]

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 12. Jun 2016, 20:36
od kad
[dispmath]f(x)=\cos^2x[/dispmath][dispmath]f(x)=\cos x\cdot\cos x[/dispmath][dispmath]f'(x)=-\sin x\cdot\cos x+\cos x\cdot(-\sin x)[/dispmath][dispmath]f'(x)=\cos x\cdot(-\sin x-\sin x)[/dispmath][dispmath]f'(x)=\cos x\cdot(-2\sin x)[/dispmath][dispmath]f'(x)=-\sin 2x[/dispmath]
Jel ovaj nacin ok ili moze brze?

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 12. Jun 2016, 20:43
od Herien Wolf
[dispmath]f\left(x\right)=\cos^2x\\
f'\left(x\right)=-2\cos x\sin x\\
\Rightarrow\quad f'\left(x\right)=-\sin2x[/dispmath]
Primena izvoda složene funkcije
[dispmath]\left(u^n\right)'=nu^{n-1}\cdot u'[/dispmath]

Re: Funkcija s kosinusima

PostPoslato: Utorak, 14. Jun 2016, 12:45
od Daniel
A možeš i preko polovine ugla:
[dispmath]\left(\cos^2x\right)'=\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right)'=\frac{1}{2}\left(1+\cos2x\right)'=\frac{1}{2}\left(-\sin2x\right)\cdot\left(2x\right)'=\frac{1}{\cancel2}\left(-\sin2x\right)\cdot\cancel2=-\sin2x[/dispmath]