Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Rang matrice?

Matrice, determinante...

Rang matrice?

Postod mlnmnc » Petak, 05. Januar 2018, 02:19

Nov sam u ovome pa mi nije jasno kako bih mogao da uprostim ovu matricu?

Odrediti rang matrice [inlmath]A=\begin{bmatrix}
24 & 19 & 36 & 72 & -38\\
49 & 40 & 73 & 147 & -80\\
73 & 59 & 98 & 219 & -118\\
47 & 36 & 71 & 141 & -72
\end{bmatrix}[/inlmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 05. Januar 2018, 13:17, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prekucavanje zadatka sa slike u Latex (tačke 13. i 14. Pravilnika)
mlnmnc  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Rang matrice?

Postod Daniel » Petak, 05. Januar 2018, 13:18

Pozdrav, zamoliću te da zadatake ne kačiš kao slike. Sve i da nisi pročitao Pravilnik (tačke 13. i 14.) mogao si videti da na ovom forumu niko tako ne radi, već da se zadaci pišu u Latexu.

Iskoristi osobine da se rang matrice ne menja primenom elementarnih transformacija (međusobna zamena dve vrste/kolone, množenje svih elemenata vrste/kolone nenultim skalarom, množenje vrste/kolone skalarom i dodavanje bilo kojoj vrsti/koloni).

Ako negde zapne, javi se da pomognemo, ali napiši to dokle si stigao.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta

Re: Rang matrice?

Postod mlnmnc » Petak, 05. Januar 2018, 15:48

Druže ne znam odakle da počnem.
mlnmnc  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Rang matrice?

Postod Subject » Petak, 05. Januar 2018, 16:04

Ovde je najlakse "Grunt work"... Ako hoces da stedis mozak, uzmes digitron i radis metodom standardnom kako se trazi rang matrice... Pravis ispod glavne dijagonale sve nule. Ne verujem da ce neko da ti da ovako nesto za ispit/kolokvijum... Mozda ima neka skrivena linearna kombinacija vrsta/kolona ali izgleda da je tesko uociti. Verujem da ce da potraje dok se sve izracuna. :ghh: :ghh:
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 55
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 25 puta

  • +1

Re: Rang matrice?

Postod Daniel » Petak, 05. Januar 2018, 22:45

Nije zadatak uopšte toliko težak koliko možda na prvi pogled izgleda. Ovakvi postupci se više svode na neki osećaj kako dobiti što „sitnije“ brojeve, radi lakšeg računa. Ono što sigurno možeš za početak uočiti, to je da su [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]5.[/inlmath] kolona međusobno proporcionalne. To jest, ako [inlmath]5.[/inlmath] koloni dodaš [inlmath]2.[/inlmath] kolonu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath], u [inlmath]5.[/inlmath] koloni dobijaš sve nule. Dalje ti se zadatak svodi na određivanje ranga one podmatrice koju dobiješ kad iz matrice [inlmath]A[/inlmath] ukloniš tu [inlmath]5.[/inlmath] kolonu koja se sastoji samo od nula.

Zatim, možeš primetiti i da su vrednosti u [inlmath]4.[/inlmath] vrsti približno jednake odgovarajućim vrednostima u [inlmath]2.[/inlmath] vrsti. Znači, šta ćeš uraditi – najlogičnije je onda da [inlmath]2.[/inlmath] vrsti dodaš [inlmath]4.[/inlmath] vrstu pomnoženu sa [inlmath](-1)[/inlmath], nakon čega ćeš u [inlmath]2.[/inlmath] vrsti dobiti mnogo manje vrednosti (pošto će sve te dobijene vrednosti biti parne, možeš celu tu vrstu zatim pomnožiti sa [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] kako bi dobio još manje vrednosti).

Pa onda, uočiš isto tako da su vrednosti u [inlmath]3.[/inlmath] vrsti približno tri puta veće od odgovarajućih vrednosti u [inlmath]1.[/inlmath] vrsti, kao i da su vrednosti u [inlmath]4.[/inlmath] vrsti približno dvaput veće od odgovarajućih vrednosti u [inlmath]1.[/inlmath] vrsti...

Eto, to ti je neka početna ideja, a dalje samo primenjuješ taj princip dok ne dođeš do oblika u kojem u svakoj vrsti/koloni imaš najviše jednu jedinicu, a sve ostalo nule.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta

Re: Rang matrice?

Postod mlnmnc » Subota, 06. Januar 2018, 02:10

Evo kako sam ja pokušao, zanima me da li sam negde pogrešio ili može ovako?
[dispmath]\begin{bmatrix}
24 & 19 & 36 & 24 & -19\\
49 & 40 & 73 & 49 & -40\\
73 & 59 & 98 & 73 & -59\\
47 & 36 & 71 & 47 & -36
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]\begin{bmatrix}
-24 & 19 & 36 & 24 & 0\\
-49 & 40 & 73 & 49 & 0\\
-73 & 59 & 98 & 73 & 0\\
-47 & 36 & 71 & 47 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]\begin{bmatrix}
-24 & 19 & 36 & 0 & 0\\
-49 & 40 & 73 & 0 & 0\\
-73 & 59 & 98 & 0 & 0\\
-47 & 36 & 71 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]\begin{bmatrix}
0 & 0 & 19 & 36 & -24\\
0 & 0 & 40 & 73 & -49\\
0 & 0 & 59 & 98 & -73\\
0 & 0 & 36 & 71 & -47
\end{bmatrix}[/dispmath] Po ovom mom je rang [inlmath]3[/inlmath]. Da li je to tačno?
mlnmnc  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Rang matrice?

Postod Daniel » Subota, 06. Januar 2018, 03:24

Odlična ti je ideja za rešavanje, uočio si da se [inlmath]4.[/inlmath] kolona može pomnožiti sa [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], a [inlmath]5.[/inlmath] kolona sa [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], nakon čega se odmah vidi da su proporcionalne [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]4.[/inlmath] kolona, a takođe i [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]5.[/inlmath] kolona.
Nakon dobijanja dve nula-kolone odmah je vidljivo da rang ne može biti veći od [inlmath]3[/inlmath].

Međutim, na osnovu čega si zaključio da je rang tačno [inlmath]3[/inlmath], a ne recimo [inlmath]2[/inlmath], ili možda [inlmath]1[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta

Re: Rang matrice?

Postod mlnmnc » Subota, 06. Januar 2018, 04:05

Na osnovu ovih nula, koje se nalaze u donjem levom uglu i obrazuju trougao, barem su mene tako učili, mada nisam siguran, zato sam i postavio ovde pitanje. Kako onda sada mogu da znam koliki je rang, ako znam da ne može biti viši od [inlmath]3[/inlmath]?
mlnmnc  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Rang matrice?

Postod Daniel » Subota, 06. Januar 2018, 12:38

Verovatno pod tim trouglom misliš na stepenastu tj. trapeznu formu (matrica kod koje je broj nula na početku svake vrste bar za jedan veći od broja nula na početku prethodne vrste). Da, kad matricu svedeš na takav oblik, onda je broj njenih nenula-kolona jednak njenom rangu, pa rang sasvim jednostavno očitaš. Ali, ti ovde matricu nisi sveo na stepenastu formu.

Rang možeš određivati i preko determinante – ako je, za slučaj ove matrice, determinanta bar jedne njene podmatrice [inlmath]3\times3[/inlmath] različita od nule, rang zadate matrice će biti [inlmath]3[/inlmath]. Ako su determinante svih podmatrica [inlmath]3\times3[/inlmath] jednake nuli, onda je rang manji od [inlmath]3[/inlmath].
Možeš pogledati i ovu temu, u njoj je pokazan i način svođenjem na stepenastu formu, a i način preko determinanti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 18. Jun 2018, 05:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs