Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Odrediti linearni operator

Matrice, determinante...

Odrediti linearni operator

Postod Prepotentna Mrkva » Subota, 06. Oktobar 2018, 17:34

Odrediti linearni operator A vektorskog prostora [inlmath]R^4[/inlmath] takav da bude:
a) Im(A) potporostor generisan vektorima (1,3,-1,0) i (2,4,0,-1)
b) Ker(A) potprostor generisan vektorom (3,2,-1,1)
c) istovremeno vazi i a) i b)

Znam kako se dolazi do baze jezgra i slika, ali ocigledno bih ovdje trebala da radim takav postupak unazad.
Konkretno pod a), svaka slika vektora iz tog potprostora bi se trebala predstaviti kao linearna kombinacija vektora (1,3,-1,0) i (2,4,0,-1). Ne znam kako to da zapisem. A ovaj pod b) tek nemam ideju nikakvu
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti linearni operator

Postod Prepotentna Mrkva » Subota, 06. Oktobar 2018, 19:40

Doduse, mozda mogu uzeti vektor iz [inlmath]R^4[/inlmath] i predstaviti ga kao linearnu kombinaciju ova dva vektora iz prostora slika.
[dispmath]\alpha(1,3,-1,0)
+ \beta(2,4,0,-1) = \mathcal{A}(x,y,z,k)[/dispmath]
I iz toga dobijem sledece
[dispmath]\alpha + 2 \beta= x \\
3\alpha +4 \beta = y \\
\alpha =-z \\
\beta=-k \\
\ x=-z-2k \\y=-3z-4k[/dispmath] Pa na osnovu toga zakljucujem [dispmath]\mathcal{A} (x,y,z,k) = (-z-2k,-3z-4k, z, k)[/dispmath] je linearni operator pod a) . Ako sam dobro uradila. Pod b mi pada napamet da lupam vektore gdje je ovo ispunjeno, al sigurno to nije nacin rjesavanja..
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Odrediti linearni operator

Postod ubavic » Subota, 06. Oktobar 2018, 23:08

Ovaj zadatak nije dobro postavljen. Po teoremi o rangu i defektu za linearni operator [inlmath]\mathcal{A}:V\rightarrow V[/inlmath] važi
[dispmath]\dim\text{Im }\mathcal{A}+\dim \text{Ker }\mathcal{A}=\dim V.[/dispmath]
Međutim, za potprostore koje si ti navela gornja jednakost ne važi (pa prema tome ti potprostori ne mogu biti jezgro i slika nekog operatora).

Ne može ovako kako si krenula. Za proizvoljan vektor [inlmath]v[/inlmath] sa kordinatama [inlmath](x,y,z,k)[/inlmath] važi da je [inlmath]\mathcal{A}(v)=w[/inlmath] gde je [inlmath]w[/inlmath] vektor sa kordinatama [inlmath](a,b,c,d)[/inlmath]. Nama se upravo traži odnos ovih kordinata, a ti si postupila kao da važi [inlmath]x=a[/inlmath], [inlmath]y=b[/inlmath], [inlmath]z=c[/inlmath] i [inlmath]k=d[/inlmath].

Ovaj zadatak se može uraditi ovako: Nađemo prvo jednu bazu [inlmath][e_1, e_2, f_1, f_2][/inlmath] prostora [inlmath]V[/inlmath] koja dopunjava datu bazu [inlmath][e_1, e_2][/inlmath] potprostora [inlmath]\text{Ker } \mathcal{A}[/inlmath], a zatim definišemo [inlmath]\mathcal{A}[/inlmath] kao jedinstveno linearno preslikavnje za koje važi
[dispmath]\mathcal{A}(e_1)=0\\\mathcal{A}(e_1)=0\\\mathcal{A}(f_1)=a\\\mathcal{A}(f_1)=b[/dispmath]
gde su vektori [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] generatori slike (Ovo sam napisao pod pretpostavkom da je [inlmath]\dim\text{Im }\mathcal{A}=\dim \text{Ker }\mathcal{A}=2[/inlmath]. Analogno se rade ostali slučajevi). Primeti da operator [inlmath]\mathcal{A}:V\rightarrow V[/inlmath] nije jedinstveno određen (već baš suprotno, postoji beskonačno operatora koji zadovoljavaju data svojstva).
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 508
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 485 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 12:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs