Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Matrična jednačina

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Matrična jednačina

Postod rioda » Ponedeljak, 04. Novembar 2019, 23:54

Treba rešiti matričnu jednačinu po [inlmath]X[/inlmath]:
[dispmath]\left(AX^T+B\right)^T=XBA^T[/dispmath] ja sam dobio ovo rešenje:
[dispmath]\left(A^T-BA^T\right)^{-1}\cdot(-B)^T[/dispmath] pošto nemam rešenje ovog zadatka, ne znam da li je ovo tačno, je l' može još nešto da se uradi sa ovom prvom zagradom?
rioda  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matrična jednačina

Postod Daniel » Četvrtak, 07. Novembar 2019, 18:13

Prevideo si da ne važi komutativnost matrica, iz [inlmath]XA^T-XBA^T=-B^T[/inlmath] trebalo je da dobiješ [inlmath]X=(-B)^T\left(A^T-BA^T\right)^{-1}[/inlmath] a ne [inlmath]\left(A^T-BA^T\right)^{-1}(-B)^T[/inlmath]:
[dispmath]XA^T-XBA^T=-B^T\\
X\left(A^T-BA^T\right)=-B^T[/dispmath] Jednačinu množimo s desne strane sa [inlmath]\left(A^T-BA^T\right)^{-1}[/inlmath] (kod matrica je, zbog nekomutativnosti, bitno da li se množenje vrši s leve ili s desne strane):
[dispmath]X\underbrace{\left(A^T-BA^T\right)\left(A^T-BA^T\right)^{-1}}_I=-B^T\left(A^T-BA^T\right)^{-1}\\
X=-B^T\left(A^T-BA^T\right)^{-1}[/dispmath]


E sad, da li se ovo može uprostiti – možda može donekle. Prvo, ja bih prethodno, pri koraku [inlmath]XA^T+B^T=XBA^T[/inlmath], umesto da [inlmath]XBA^T[/inlmath] prebacujem na levu stranu, prebacio [inlmath]XA^T[/inlmath] na desnu, čime bih na onoj drugoj strani dobio [inlmath]B^T[/inlmath] bez predznaka minus, to jest:
[dispmath]XA^T+B^T=XBA^T\\
XBA^T-XA^T=B^T\\
\vdots\\
X=B^T\left(BA^T-A^T\right)^{-1}[/dispmath] Sada se ovo [inlmath]A^T[/inlmath] može izvući desno od zagrade:
[dispmath]X=B^T\left((B-I)A^T\right)^{-1}[/dispmath] a zatim, koristeći osobinu [inlmath](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/inlmath], imamo
[dispmath]X=B^T\left(\left(A^T\right)^{-1}(B-I)^{-1}\right)[/dispmath] Koristeći osobinu asocijativnosti, [inlmath]A(BC)=(AB)C[/inlmath], desna strana se može napisati kao:
[dispmath]X=\left(B^T\left(A^T\right)^{-1}\right)(B-I)^{-1}[/dispmath] a zatim, na osnovu [inlmath]\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T[/inlmath],
[dispmath]X=\left(B^T\left(A^{-1}\right)^T\right)(B-I)^{-1}[/dispmath] dalje, na osnovu [inlmath]B^TA^T=(AB)^T[/inlmath],
[dispmath]X=\left(A^{-1}B\right)^T(B-I)^{-1}[/dispmath] i to bi bilo to, dalje se uprostit ne može...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7756
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4075 puta
Pohvaljen: 4132 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 17. Novembar 2019, 10:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs