Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Matrice, determinante...

Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Postod Frank » Sreda, 13. Maj 2020, 20:35

Pozdrav! Zadatak glasi: Sistem jednačina
[dispmath]2x+y=4\\
ax+y=a+2\\
x-3y=-5[/dispmath] [inlmath]{A)\hspace{1.25mm}\text{nema rešenja};\hspace{4.5mm}}{B)\hspace{1.25mm}\text{ima beskonačno mnogo rešenja za }a=0;\hspace{4.5mm}}{C)\hspace{0.5mm}\text{ima jedinstveno rešenje samo za }a=2;\hspace{4.5mm}}{D)\hspace{1.25mm}\text{ima beskonačno mnogo rešenja za }a\ne2;\hspace{4.5mm}}{\enclose{circle}{E}\hspace{1.25mm}\text{ima jedinstveno rešenje za sve }a.}[/inlmath]
Ja sam svakoj jednačini sistema dodao [inlmath]0\cdot z[/inlmath], kako bih sistem rešavao preko determinante [inlmath]3\times3[/inlmath]. Dobijem da su sve četiri determinante jednake [inlmath]0[/inlmath], za svako [inlmath]a[/inlmath]. Kako su sve determinante jednake nuli, onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja ili uopšte nema rešenja. Budući da u zadatku nije ponudjena opcija beskonačno mnogo rešenja, ja bih zaokružio pod [inlmath]A[/inlmath]. Negde očigledno grešim, al' pitanje je gde? :) Hvala unapred!
Frank   ONLINE
 
Postovi: 313
Zahvalio se: 148 puta
Pohvaljen: 197 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Maj 2020, 17:18

Mogao si i očekivati da će determinatne tako proširenog sistema biti nule, jer ako proširuješ sa [inlmath]0\cdot z[/inlmath] onda je jasno da vrednost [inlmath]z[/inlmath] ne utiče na tačnost ili netačnost rešenja, tj. da će, ako sistem nije nesaglasan, postojati beskonačno mnogo rešenja za [inlmath]z[/inlmath]. Druga stvar, ti ćeš u [inlmath]z[/inlmath]-kolonama determinanti imati sve nule, a jedno od svojstava determinante jeste da, kada su joj u nekoj vrsti ili u nekoj koloni sve nule, tada je vrednost determinante nula.

Zar ti nije jednostavnije da izabereš dve jednačine u kojima ne figuriše [inlmath]a[/inlmath], rešiš ih po [inlmath]x[/inlmath] i po [inlmath]y[/inlmath], a zatim dobijene vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] uvrstiš u onu preostalu jednačinu u kojoj figuriše [inlmath]a[/inlmath]? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8351
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4442 puta
Pohvaljen: 4443 puta

Re: Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Postod Frank » Četvrtak, 14. Maj 2020, 17:33

Daniel je napisao:Zar ti nije jednostavnije da izabereš dve jednačine u kojima ne figuriše [inlmath]a[/inlmath], rešiš ih po [inlmath]x[/inlmath] i po [inlmath]y[/inlmath], a zatim dobijene vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] uvrstiš u onu preostalu jednačinu u kojoj figuriše [inlmath]a[/inlmath]? :)

Jes vala, ali nije mi jasno zašto u ovom zadatku ne važi Kramerovo pravilo - ako su sve determinate jednake nuli sistem ima beskonačno mnogo rešenja ili ih nema uopšte?
Frank   ONLINE
 
Postovi: 313
Zahvalio se: 148 puta
Pohvaljen: 197 puta

Re: Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Maj 2020, 19:17

Upravo iz razloga koji sam pokušao da objasnim u prethodnom postu. Dok si imao samo promenljive [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], za njih se dobije da su jednoznačno određene ovim sistemom, tj. da sistem ima jednoznačno određena rešenja [inlmath](x,y)[/inlmath]. Međutim, kad uvedeš novu promenljivu [inlmath]z[/inlmath], budući da ona nije data postojećim jednačinama, za nju će postojati beskonačno mnogo rešenja, i samim tim sistem će biti neodređen jer će imati beskonačno mnogo uređenih trojki [inlmath](x,y,z)[/inlmath] koje predstavljaju rešenja (bez obzira na to što su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] same za sebe jednoznačno određene).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8351
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4442 puta
Pohvaljen: 4443 puta

Re: Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Postod Frank » Četvrtak, 14. Maj 2020, 19:31

Aha, sad sam razumeo. Hvala puno!
Nas su u školi učili da sistem možemo slobodno nameštati na kvadratnu šemu, pa raditi preko determinanti. Znači ako nemamo kvadratnu šemu onda nam Gaus ne gine? Konkretno za ovaj zadatak, Gausov postupak je suvišan, ali pričam uopšteno.

P. S. Jedno dodatno pitanje. Da je u ovom sistemu u jednoj jednačini figurisalo [inlmath]z[/inlmath], onda bismo smeli nameštati na kvadratnu šemu? Po mom logičkom razmišljaju smeli bismo, ali bolje da pitam, za svaki slučaj.
Poslednji put menjao Frank dana Četvrtak, 14. Maj 2020, 19:40, izmenjena samo jedanput
Frank   ONLINE
 
Postovi: 313
Zahvalio se: 148 puta
Pohvaljen: 197 puta

  • +1

Re: Sistem od tri linearne jednačine s parametrom

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Maj 2020, 19:39

Pa ne mora značiti da Gaus ne gine, možeš ovo i preko Kramera, izdvojiš jednačine u kojima ne figuriše [inlmath]a[/inlmath] (tj. prvu i treću), od njih formiraš determinante [inlmath]2\times2[/inlmath] i nađeš [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], koje zatim uvrstiš u drugu jednačinu...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8351
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4442 puta
Pohvaljen: 4443 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 10. Avgust 2020, 18:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs