Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Intuitivno shvatanje algebarskih struktura

Matrice, determinante...

Intuitivno shvatanje algebarskih struktura

Postod drmm » Ponedeljak, 10. Avgust 2020, 19:50

Pozdrav! Od oktobra počinjem studije na smeru Teorijska matematika i primene na MatF-u u Beogradu. Linearna algebra je jedan od dva dvosemestralna predmeta u prvoj godini, pa pokušavam da iščitam barem neki uvod u algebru uopšte, ali veliki problem mi prave aksiome grupe, prstena, polja itd. Nije meni problem da shvatim aksiomatsku definiciju tih pojmova, samo ne uspevam nekako intuitivno da zamislim pa samim tim i razumem, pre svega, zašto su uvedene te strukture, kako su dobile svoje nazive i generalno čemu služe. Npr. kada neko kaže polje realnih brojeva, zašto meni ne bi na pamet pala livada gde se umesto životinja, šetaju realni brojevi :D . Veoma slična je situacija kada se neko susreće sa pojmom binarne relacije. Definicija binarne relacije je uvedena takva kakva jeste, jer nije smišljen bolji način da se strogo definiše taj pojam nego kao podskup Dekartovog proizvoda dva skupa. Ali već od ranije susretao sam se sa relacijama i znam kako sebi objasniti intuitivno šta se tu dešava i koja je ideja iza svega toga. Svaka pomoć biće veoma dobrodošla.
drmm  OFFLINE
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Intuitivno shvatanje algebarskih struktura

Postod ubavic » Sreda, 12. Avgust 2020, 00:43

Osnovni pojam koji se izučava u Linearnoj algebri je vektorski prostor. Formalna definicija vektorskog prostora u sebi sadrži pojmove grupe i polja, tako da se ti pojmovi moraju spomenuti na prvoj godini i ako se tada ne izučavaju detaljno. Intuitivno shvatanje definicije vektorskog prostora ne bi trebalo da predstavlja problem ako se zamisli jedan geometrijski prostor u kome su vektori sve usmerene strelice koje počinju u nekoj fiksiranoj tački [inlmath]O[/inlmath]...

Što se tiče prstena i polja, ova dva pojma se gotovo uvek uvode zajedno, pošto je svako polje ujedno i prsten u kom je svaki nenula element invertibilan (poseduje inverz). Oba ova pojma se detaljno izučavaju na kursu Algebra 2 na trećoj godini. Pojmovi prsten i polje uglavnom se koriste u algebri i teoriji brojeva. Za prvu godinu, dovoljno je znati definicije ovih pojmova, kao i osnovne primere: [inlmath]\mathbb{Z}, n\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}[/inlmath], prsteni matrica, itd.. (ovde sam bio malo neprecizan i nisam napisao kako su operacije definisane, ali uvek kada je tako podrazumeva se standardno sabiranje i množenje). Za početak, na osnovu ovih primera treba graditi intuiciju o prstenima i poljima.
I da, priče o tome kao su nastali nazivi prsten i polje nisu mnogo zanimljive. Neke informacije možeš pronaći ovde, ovde ili ovde. Ali, slažem se da su nazivi pomalo neobični za nekoga ko ih prvi put čuje :D

Grupe se takođe ne obrađuju mnogo na prvoj godini, već je za njih rezervisan kurs Algebra 1. Međutim, za razliku od prstena i polja o kojima se uglavnom govori na algebarskim kursevima, grupe se mogu naći u skoro svim oblastima matematike, zato što se struktura grupe prirodno javlja kod opisivanja svih bijektivnih preslikavanja skupa u samog sebe (o tome sam pisao na početku ovog posta). Ovaj fenomen se prenosi i na malo specifičnije slučajeve gde se zahteva da te bijekcije čuvaju nekakvu strukturu (pa tako skup svih bijekcija euklidskog prostora u samog sebe koje čuvaju rastojanje među tačkama, čini grupu izometrija; skup svih bijekcija nekog vektorskog prostora u samog sebe koje su ujedno i linearna preslikavanja, čini grupu linearnih izomorfizama, itd...). Zapravo, sve se svodi na to da se grupe javljaju kad god je potrebno opisati simetrije nekakvog objekta (šta god to značilo). Naravno, grupe su interesantne same po sebi, i proučavaju se i bez izučavanja drugih objekata...
U prvoj godini se takođe ne traži nešto mnogo više o grupama, osim definicija i osnovnih primera. Ali ne treba biti iznenađen kada se pojam grupe uveden na algebri počne redovno javljati na kursevima geometrije, topologije, kompleksne analize, diferencijalnih jednačina, itd...
Takođe, grupe su našle svoju primenu van matematike, u oblastima kao što su fizika, hemija i kriptografija.

Naravno, da bi u potpunosti shvatio šta sam hteo da kažem, biće potrebno malo iskustva u pomenutim oblastima. Nadam se da sam te barem malo motivisao za izučavanje ovih struktura.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 550
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 543 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 23. Septembar 2020, 18:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs