Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Matrica na stepen

Matrice, determinante...

Matrica na stepen

Postod qualizz » Četvrtak, 19. Novembar 2020, 20:13

Neka je data matrica [inlmath]A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}[/inlmath]. Naći [inlmath]A^{2018}[/inlmath].

Našao sam da je [inlmath]A^2=\begin{bmatrix}
5 & 4\\
4 & 5
\end{bmatrix}[/inlmath], [inlmath]A^3=\begin{bmatrix}
14 & 13\\
13 & 14
\end{bmatrix}[/inlmath] i uvidio da je [inlmath]A^2=\begin{bmatrix}
3 & 3\\
3 & 3
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}[/inlmath] i da je [inlmath]A^3=\begin{bmatrix}
3 & 3\\
3 & 3
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
3^2 & 3^2\\
3^2 & 3^2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}[/inlmath] pa sam to zapisao kao:
[dispmath]A^{2018}=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}+\sum\limits_{k=1}^{2017}3^n\cdot\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}.[/dispmath] Da li je ovo ispravno i postoji li neki drugi način za rješavanje?
qualizz  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Matrica na stepen

Postod primus » Petak, 20. Novembar 2020, 07:30

[dispmath]A^{2018}=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}+\sum_{k=1}^{2017}3^{\color{red}k}\cdot\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 129
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 135 puta

  • +1

Re: Matrica na stepen

Postod ubavic » Petak, 20. Novembar 2020, 15:14

Zadatak bi bio kompletan, da si dokazao formulu
[dispmath]A^{n} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} 3^{k} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath]
indukcijom. Taj postupak je sasvim lak ako se primeti da je [inlmath]A= I + L[/inlmath] gde je [inlmath]I[/inlmath] jedinična matrica, a [inlmath]L=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.[/inlmath]

Predstavljanje matrice [inlmath]A[/inlmath] kao zbir [inlmath]I+L[/inlmath] nam sugeriše još jedan način rešavanja zadatka: [inlmath]A^n=(I+L)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k} I^k L^{n-k}=\dots[/inlmath]. Matrica [inlmath]L^n[/inlmath] ima veoma jednostavan oblik što se indukcijom lako pokazuje. Binomnu formulu smo mogli iskoristiti ovde jer matrice [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]L[/inlmath] komutiraju (u opštem slučaju ne važi binomna formula za matrice!)

Treći način rešavanja zadatka je preko dijagonalizacije. Pogledati, na primer, ovu temu, ovu temu,...
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 562
Zahvalio se: 362 puta
Pohvaljen: 553 puta

Re: Matrica na stepen

Postod Daniel » Petak, 20. Novembar 2020, 17:54

ubavic je napisao:Predstavljanje matrice [inlmath]A[/inlmath] kao zbir [inlmath]I+L[/inlmath] nam sugeriše još jedan način rešavanja zadatka: [inlmath]A^n=(I+L)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k} I^k L^{n-k}=\dots[/inlmath].

[inlmath]A=I+L[/inlmath] je svakako oblik za elegantniji dokaz indukcijom, ali lično ne vidim način da se preko razvoja binoma dođe i do „lepog“ zapisa rezultata. Dok, ako bismo za rešavanje zadatka ipak upotrebili oblik [inlmath]A^{2018}=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}+\sum\limits_{k=1}^{2017}3^k\cdot\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}[/inlmath], tada bi [inlmath]\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}[/inlmath] izašlo ispred sume, primenili bismo formulu za sumu geometrijskog niza i dobili tačno koliko iznosi traženi stepen matrice...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 8465
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4517 puta
Pohvaljen: 4505 puta

  • +1

Re: Matrica na stepen

Postod ubavic » Petak, 20. Novembar 2020, 21:01

Ja sam ovako uradio zadatak
[dispmath]\begin{align}A^n&=(I+L)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k} I^{n-k} L^k=\sum_{k=0}^n{n\choose k} L^k \\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sum_{k=1}^n{n\choose k} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} ^k \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sum_{k=1}^n{n\choose k} \begin{bmatrix} 2^{k-1} & 2^{k-1} \\ 2^{k-1} & 2^{k-1} \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\cdot\sum_{k=0}^n{n\choose k} 2^k 1^{n-k} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\cdot (2+1)^n\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \frac{3^n - 1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\end{align}[/dispmath]
Poslednji izraz je dalje jednak
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}3^k\cdot\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}3^k\cdot\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}.[/dispmath]
tj. formuli koju je qualizz napisao.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 562
Zahvalio se: 362 puta
Pohvaljen: 553 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 03. Decembar 2020, 02:17 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs