-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
Unique
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Petak, 28. Novembar 2014, 11:47
Pozdrav, imaš dva načina. Prvi način je da posmatraš jednu po jednu kvadratnu podmatricu zadate matrice i ispituješ da li je regularna. Najzgodnije je, za početak, izabrati onu podmatricu koja ne sadrži oba parametra, npr. neka to bude podmatrica [inlmath]\begin{bmatrix}
p-5 & 1 & 1\\
0 & 2 & 5\\
-4 & 0 & 3
\end{bmatrix}[/inlmath], koja sadrži samo parametar [inlmath]p[/inlmath], a ne sadrži [inlmath]q[/inlmath]. Njena determinanta je [inlmath]6\left(p-7\right)[/inlmath], što znači da je ta matrica regularna uvek kada je [inlmath]p\ne 7[/inlmath], a samim tim je i rang cele matrice jednak [inlmath]3[/inlmath] uvek kada je [inlmath]p\ne 7[/inlmath]. Radi ispitivanja ranga matrice za slučaj [inlmath]p=7[/inlmath], uvrštavamo tu vrednost umesto [inlmath]p[/inlmath] u zadatu matricu, ona postaje
[dispmath]\begin{bmatrix}
2 & 1 & 7 & -1 & 1\\
0 & 2 & 1 & q & 5\\
-4 & 0 & -13 & 3 & 3
\end{bmatrix}[/dispmath]
i to se onda svodi na ispitivanje ranga matrice u zavisnosti od jednog parametra, [inlmath]q[/inlmath].
Drugi način je preko elementarnih transformacija:
[dispmath]\begin{bmatrix}
p-5 & 1 & p & -1 & 1\\
0 & 2 & 1 & q & 5\\
-4 & 0 & 1-2p & 3 & 3
\end{bmatrix}\overset{
\begin{matrix}
\mbox{zamena}\\
\mbox{mesta}\\
\mbox{kolonama}
\end{matrix}\\
}{\sim}\begin{bmatrix}
1 & 1 & p-5 & p & -1\\
2 & 5 & 0 & 1 & q\\
0 & 3 & -4 & 1-2p & 3
\end{bmatrix}\sim[/dispmath][dispmath]\sim\begin{bmatrix}
1 & 1 & p-5 & p & -1\\
0 & 3 & 10-2p & 1-2p & q+2\\
0 & 3 & -4 & 1-2p & 3
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
1 & 1 & p-5 & p & -1\\
0 & 3 & 10-2p & 1-2p & q+2\\
0 & 0 & 2p-14 & 0 & 1-q
\end{bmatrix}[/dispmath]
i pošto smo ovime matricu sveli na stepenastu formu, njen rang sada određujemo kao broj njenih ne-nula vrsta, pri čemu je očigledno da će prva i druga vrsta uvek biti ne-nula vrste, dok za treću možemo vrlo lako odrediti za koje vrednosti parametara [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] će to biti nula vrsta...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain