Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Rang matrice

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Rang matrice

Postod slavonija035 » Četvrtak, 07. Februar 2013, 17:39

2. Za koje vrijednosti realnog parametra [inlmath]\lambda[/inlmath] će rang matrice [inlmath]A[/inlmath] biti:
[dispmath]\begin{array}{l}
a)\;r\left(A\right)=1,\\
b)\;r\left(A\right)=2,\\
c)\;r\left(A\right)=3?
\end{array}\qquad A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{bmatrix}[/dispmath]
hm, hm... kako ovo riješiti?

mislim da je [inlmath]r(A)=1[/inlmath] ako je traženi parametar [inlmath]4[/inlmath], ali ne znam kako to postaviti
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Rang matrice

Postod Milovan » Četvrtak, 07. Februar 2013, 23:23

[dispmath]\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & x & -2\\
3 & -6 & -3
\end{vmatrix}[/dispmath]
Odmah možeš primetiti da su prva i treća kolona proporcionalne, samim tim je determinanta nula za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath].
Znači, rang ne može biti tri ni za koje [inlmath]x[/inlmath].

Sve determinante drugog reda koje ne sadrže [inlmath]x[/inlmath] su jednake nuli.

Pošto je:
[dispmath]\begin{vmatrix}
-1 & 2\\
2 & x
\end{vmatrix}[/dispmath]
bude različita od nule.
[dispmath]-x-4=0\\
x=-4[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
+ 2 & 1\\
x & -2
\end{vmatrix}\\
-4-x=0\\
x=-4[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
2 & x\\
3 & -6
\end{vmatrix}\\
-12-3x=0\\
x=-4[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
x & -2\\
-6 & -3
\end{vmatrix}\\
-3x-12=0\\
x=-4[/dispmath]
rang matrice je [inlmath]2[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] osim [inlmath]-4[/inlmath].

Dakle, za [inlmath]x=-4[/inlmath] rang matrice će biti jedan.
Za svako [inlmath]x\ne-4[/inlmath] rang matrice je [inlmath]2[/inlmath].
Ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] rang matrice nije [inlmath]3[/inlmath].
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

  • +1

Re: Rang matrice

Postod Daniel » Petak, 08. Februar 2013, 01:14

Postoji još jedan način određivanja ranga matrice, a to je svođenjem na trougaonu matricu. Praktičan je kod matrica višeg reda, jer isključuje potrebu provere svake podmatrice zasebno.

Znači, imamo matricu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{bmatrix}[/dispmath]
Rang matrice se ne menja primenom linearnih transformacija, tj. ako nekoj vrsti dodamo/oduzmemo neku drugu vrstu pomnoženu nekom konstantom. (Naravno, to isto važi i za kolone.)

Trećoj vrsti dodaćemo prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath] i dobićemo sledeću matricu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
(Već sada možemo primetiti da rang ove matrice nikad ne može biti [inlmath]3[/inlmath], tj. da je ova matrica singularna, jer ima jednu vrstu u kojoj su sve nule.)

Drugoj vrsti ćemo sada dodati prvu vrstu pomnoženu s [inlmath]2[/inlmath] i dobićemo sledeću matricu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
0 & \lambda+4 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
I dobili smo trougaonu matricu (matricu koja ispod glavne dijagonale ima sve nule).

Kod trougaone matrice broj nenula vrsta nam određuje rang matrice.
Vidimo da, bez obzira na vrednost [inlmath]\lambda[/inlmath], rang ove matrice nikad ne može biti [inlmath]3[/inlmath].
Ako je [inlmath]\lambda\ne-4[/inlmath], rang matrice će biti [inlmath]2[/inlmath], a ako je [inlmath]\lambda=-4[/inlmath], rang će biti [inlmath]1[/inlmath].

Inače, da rang ove matrice ne može nikad biti [inlmath]3[/inlmath] mogli smo se uveriti i direktnim razvojem determinante ove matrice:
[dispmath]\det A=\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{vmatrix}=-1\cdot\left(-3\lambda-12\right)-2\left(-6+6\right)+1\cdot\left(-12-3\lambda\right)=0[/dispmath]
što je posledica, kako Milovan reče, međusobne proporcionalnosti pojedinih vrsta/kolona.

Potpuno je svejedno da li ćeš raditi na način koji ti je izložio Milovan ili na ovaj način, oba su ispravna, tako da je na tebi da se opredeliš za neki od ova dva načina (osim, ako u zadataku nije eksplicitno zatraženo koji metod da koristite).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7771
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4139 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 06. Decembar 2019, 08:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs