-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
Milovan
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Petak, 08. Februar 2013, 01:14
Postoji još jedan način određivanja ranga matrice, a to je svođenjem na trougaonu matricu. Praktičan je kod matrica višeg reda, jer isključuje potrebu provere svake podmatrice zasebno.
Znači, imamo matricu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{bmatrix}[/dispmath]
Rang matrice se ne menja primenom linearnih transformacija, tj. ako nekoj vrsti dodamo/oduzmemo neku drugu vrstu pomnoženu nekom konstantom. (Naravno, to isto važi i za kolone.)
Trećoj vrsti dodaćemo prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath] i dobićemo sledeću matricu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
(Već sada možemo primetiti da rang ove matrice nikad ne može biti [inlmath]3[/inlmath], tj. da je ova matrica singularna, jer ima jednu vrstu u kojoj su sve nule.)
Drugoj vrsti ćemo sada dodati prvu vrstu pomnoženu s [inlmath]2[/inlmath] i dobićemo sledeću matricu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
0 & \lambda+4 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
I dobili smo trougaonu matricu (matricu koja ispod glavne dijagonale ima sve nule).
Kod trougaone matrice broj nenula vrsta nam određuje rang matrice.
Vidimo da, bez obzira na vrednost [inlmath]\lambda[/inlmath], rang ove matrice nikad ne može biti [inlmath]3[/inlmath].
Ako je [inlmath]\lambda\ne-4[/inlmath], rang matrice će biti [inlmath]2[/inlmath], a ako je [inlmath]\lambda=-4[/inlmath], rang će biti [inlmath]1[/inlmath].
Inače, da rang ove matrice ne može nikad biti [inlmath]3[/inlmath] mogli smo se uveriti i direktnim razvojem determinante ove matrice:
[dispmath]\det A=\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{vmatrix}=-1\cdot\left(-3\lambda-12\right)-2\left(-6+6\right)+1\cdot\left(-12-3\lambda\right)=0[/dispmath]
što je posledica, kako Milovan reče, međusobne proporcionalnosti pojedinih vrsta/kolona.
Potpuno je svejedno da li ćeš raditi na način koji ti je izložio Milovan ili na ovaj način, oba su ispravna, tako da je na tebi da se opredeliš za neki od ova dva načina (osim, ako u zadataku nije eksplicitno zatraženo koji metod da koristite).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain