Rang matrice

PostPoslato: Četvrtak, 07. Februar 2013, 18:39
od slavonija035
2. Za koje vrijednosti realnog parametra [inlmath]\lambda[/inlmath] će rang matrice [inlmath]A[/inlmath] biti:
[dispmath]\begin{array}{l}
a)\;r\left(A\right)=1,\\
b)\;r\left(A\right)=2,\\
c)\;r\left(A\right)=3?
\end{array}\qquad A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{bmatrix}[/dispmath]
hm, hm... kako ovo riješiti?

mislim da je [inlmath]r(A)=1[/inlmath] ako je traženi parametar [inlmath]4[/inlmath], ali ne znam kako to postaviti

Re: Rang matrice

PostPoslato: Petak, 08. Februar 2013, 00:23
od Milovan
[dispmath]\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & x & -2\\
3 & -6 & -3
\end{vmatrix}[/dispmath]
Odmah možeš primetiti da su prva i treća kolona proporcionalne, samim tim je determinanta nula za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath].
Znači, rang ne može biti tri ni za koje [inlmath]x[/inlmath].

Sve determinante drugog reda koje ne sadrže [inlmath]x[/inlmath] su jednake nuli.

Pošto je:
[dispmath]\begin{vmatrix}
-1 & 2\\
2 & x
\end{vmatrix}[/dispmath]
bude različita od nule.
[dispmath]-x-4=0\\
x=-4[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
+ 2 & 1\\
x & -2
\end{vmatrix}\\
-4-x=0\\
x=-4[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
2 & x\\
3 & -6
\end{vmatrix}\\
-12-3x=0\\
x=-4[/dispmath]
[dispmath]\begin{vmatrix}
x & -2\\
-6 & -3
\end{vmatrix}\\
-3x-12=0\\
x=-4[/dispmath]
rang matrice je [inlmath]2[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] osim [inlmath]-4[/inlmath].

Dakle, za [inlmath]x=-4[/inlmath] rang matrice će biti jedan.
Za svako [inlmath]x\ne-4[/inlmath] rang matrice je [inlmath]2[/inlmath].
Ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] rang matrice nije [inlmath]3[/inlmath].

Re: Rang matrice

PostPoslato: Petak, 08. Februar 2013, 02:14
od Daniel
Postoji još jedan način određivanja ranga matrice, a to je svođenjem na trougaonu matricu. Praktičan je kod matrica višeg reda, jer isključuje potrebu provere svake podmatrice zasebno.

Znači, imamo matricu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{bmatrix}[/dispmath]
Rang matrice se ne menja primenom linearnih transformacija, tj. ako nekoj vrsti dodamo/oduzmemo neku drugu vrstu pomnoženu nekom konstantom. (Naravno, to isto važi i za kolone.)

Trećoj vrsti dodaćemo prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath] i dobićemo sledeću matricu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
(Već sada možemo primetiti da rang ove matrice nikad ne može biti [inlmath]3[/inlmath], tj. da je ova matrica singularna, jer ima jednu vrstu u kojoj su sve nule.)

Drugoj vrsti ćemo sada dodati prvu vrstu pomnoženu s [inlmath]2[/inlmath] i dobićemo sledeću matricu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1\\
0 & \lambda+4 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
I dobili smo trougaonu matricu (matricu koja ispod glavne dijagonale ima sve nule).

Kod trougaone matrice broj nenula vrsta nam određuje rang matrice.
Vidimo da, bez obzira na vrednost [inlmath]\lambda[/inlmath], rang ove matrice nikad ne može biti [inlmath]3[/inlmath].
Ako je [inlmath]\lambda\ne-4[/inlmath], rang matrice će biti [inlmath]2[/inlmath], a ako je [inlmath]\lambda=-4[/inlmath], rang će biti [inlmath]1[/inlmath].

Inače, da rang ove matrice ne može nikad biti [inlmath]3[/inlmath] mogli smo se uveriti i direktnim razvojem determinante ove matrice:
[dispmath]\det A=\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1\\
2 & \lambda & -2\\
3 & -6 & -3
\end{vmatrix}=-1\cdot\left(-3\lambda-12\right)-2\left(-6+6\right)+1\cdot\left(-12-3\lambda\right)=0[/dispmath]
što je posledica, kako Milovan reče, međusobne proporcionalnosti pojedinih vrsta/kolona.

Potpuno je svejedno da li ćeš raditi na način koji ti je izložio Milovan ili na ovaj način, oba su ispravna, tako da je na tebi da se opredeliš za neki od ova dva načina (osim, ako u zadataku nije eksplicitno zatraženo koji metod da koristite).