Sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom parametru

PostPoslato: Petak, 08. Februar 2013, 21:50
od slavonija035
3. Riješite sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom parametru [inlmath]\lambda[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{rrrl}
x_1 & -x_2 & +\lambda x_3 & =-1\\
& x_2 & +5x_3 & =3\\
\lambda x_1 & -2x_2 & -4x_3 & =-4
\end{array}[/dispmath]
ukratko, zanima me rješenje ovoga i da vidim gdje griješim

Re: Sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom paramet

PostPoslato: Petak, 08. Februar 2013, 22:15
od slavonija035
jel moguće da je rješenje traženog zadatka [inlmath](2-6t,\:3-5t,\:t),\;t\in\mathbb{R}[/inlmath]

Re: Sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom paramet

PostPoslato: Subota, 09. Februar 2013, 00:15
od Daniel
Žao mi je, ali nije. :techie-error: Nije to rešenje. Uvek možeš proveriti da li si dobio tačna rešenja tako što ćeš ih uvrstiti u zadati sistem jednačina i videti da li se poklapa. Ova tvoja rešenja ne zadovoljavaju date jednačine.

Tačna rešenja su:
[dispmath]x_1=\frac{2}{\lambda+6}[/dispmath][dispmath]x_2=3-\frac{10}{\lambda+6}[/dispmath][dispmath]x_3=\frac{2}{\lambda+6}[/dispmath]
pri čemu mora biti zadovoljeno i [inlmath]\lambda\ne1[/inlmath], kako bi sistem bio određen i [inlmath]\lambda\ne-6[/inlmath], kako bi sistem imao rešenja.
Nije mi problem da ti pokažem postupak, samo mi reci koji te postupak interesuje – pomoću Gausove eliminacije, ili pomoću Kramerovih formula?

Re: Sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom paramet

PostPoslato: Subota, 09. Februar 2013, 00:27
od slavonija035
pomoću Kramerovih formula :D

Re: Sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom paramet

PostPoslato: Subota, 09. Februar 2013, 02:32
od Daniel
A šta je tol'ko smešno? :D

OK, najpre odredimo determinantu sistema na osnovu zadatog sistema jednačina:
[dispmath]\Delta=\begin{vmatrix}
1 & -1 & \lambda\\
0 & 1 & 5\\
\lambda & -2 & -4
\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
1 & 5\\
-2 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 5\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}+\lambda\cdot\begin{vmatrix}
0 & 1\\
\lambda & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta=1\cdot6-\left(-1\right)\cdot\left(-5\lambda\right)+\lambda\cdot\left(-\lambda\right)=-\lambda^2-5\lambda+6=\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)[/dispmath]
Odavde vidimo da će determinanta sistema biti nula za [inlmath]\lambda=-6[/inlmath] i [inlmath]\lambda=1[/inlmath], tj. za te vrednosti matrica sistema će biti singularna, tj. sistem ili neće imati rešenja ili će biti neodređen.
Rešenje sistema dobijamo primenom Kramerovih formula:
[dispmath]x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta},\quad x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta},\quad x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}[/dispmath]
gde su [inlmath]\Delta_{x_1}[/inlmath], [inlmath]\Delta_{x_2}[/inlmath] i [inlmath]\Delta_{x_3}[/inlmath] determinante koje dobijamo tako što odgovarajuću kolonu determinante sistema zamenimo rešenjima sistema:
[dispmath]\Delta_{x_1}=\begin{vmatrix}
-1 & -1 & \lambda\\
3 & 1 & 5\\
-4 & -2 & -4
\end{vmatrix}=\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
1 & 5\\
-2 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
3 & 5\\
-4 & -4
\end{vmatrix}+\lambda\cdot\begin{vmatrix}
3 & 1\\
-4 & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_1}=\left(-1\right)\cdot 6-\left(-1\right)\cdot8+\lambda\cdot\left(-2\right)=2\left(1-\lambda\right)[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_2}=\begin{vmatrix}
1 & -1 & \lambda\\
0 & 3 & 5\\
\lambda & -4 & -4
\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
3 & 5\\
-4 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 5\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}+\lambda\cdot\begin{vmatrix}
0 & 3\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_2}=1\cdot8-\left(-1\right)\cdot\left(-5\lambda\right)+\lambda\cdot\left(-3\lambda\right)=-3\lambda^2-5\lambda+8[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_3}=\begin{vmatrix}
1 & -1 & -1\\
0 & 1 & 3\\
\lambda & -2 & -4
\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
1 & 3\\
-2 & -4
\end{vmatrix}-\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 3\\
\lambda & -4
\end{vmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{vmatrix}
0 & 1\\
\lambda & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]\Delta_{x_3}=1\cdot 2-\left(-1\right)\cdot\left(-3\lambda\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-\lambda\right)=2\left(1-\lambda\right)[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{2\left(1-\lambda\right)}{\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)}=\frac{2}{\lambda+6}[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-3\lambda^2-5\lambda+8}{-\lambda^2-5\lambda+6}=\frac{-3\lambda^2-15\lambda+18+10\lambda-10}{-\lambda^2-5\lambda+6}=[/dispmath][dispmath]=\frac{-3\lambda^2-15\lambda+18}{-\lambda^2-5\lambda+6}+\frac{10\lambda-10}{-\lambda^2-5\lambda+6}=3+\frac{-10\left(1-\lambda\right)}{\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)}=3-\frac{10}{\lambda+6}[/dispmath][dispmath]x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{2\left(1-\lambda\right)}{\left(\lambda+6\right)\left(1-\lambda\right)}=\frac{2}{\lambda+6}[/dispmath]

Re: Sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom paramet

PostPoslato: Subota, 09. Februar 2013, 11:00
od Milovan
Samo da se nadovežem, trebalo bi dodatno ispitati slučaj kada je sistem neodređen, tj. kada je [inlmath]\lambda=1[/inlmath].
Vratiš tu vrednost u polazni sistem, proglasiš jednu od promenljivih parametrom, a ostale izraziš preko nje.