Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Kroneker–Kapelijeva teorema

Matrice, determinante...

Kroneker–Kapelijeva teorema

Postod Ilija » Nedelja, 05. April 2015, 15:55

Da pitam kako se sistem resava primenom Kroneker-Kapelijeve teoreme. Ne mogu nigde da nadjem neko detaljnije pojasnjenje. Znam samo da se postavlja matrica sistema i prosirena matrica sistema. E sad, na sta to treba da se svede?

Npr. ako imamo sistem:
[dispmath]4x+3y-3z=5[/dispmath][dispmath]3x+2y-4z+t=7[/dispmath][dispmath]x-y+2z-5t=-3[/dispmath][dispmath]-2x+y+2z+5t=-3[/dispmath]
dobijamo matricu sistema
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
4 & 3 & -3 & 0\\
3 & 2 & -4 & 1\\
1 & -2 & 3 & -5\\
-2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}[/dispmath]
i prosirenu matricu sistema
[dispmath]\overline{A}=\left[\begin{array}{cccc|c}
4 & 3 & -3 & 0 & 5\\
3 & 2 & -4 & 1 & 7\\
1 & -2 & 3 & -5 & -3\\
-2 & 1 & 2 & 5 & -3\\
\end{array}\right][/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kroneker–Kapelijeva teorema

Postod Daniel » Nedelja, 05. April 2015, 17:43

Prvo, imaš grešku u matrici sistema,
Ilija je napisao:[dispmath]A=\begin{bmatrix}
4 & 3 & -3 & 0\\
3 & 2 & -4 & 1\\
1 & {\color{red}-2} & {\color{red}3} & -5\\
-2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}[/dispmath]

a, samim tim, i u proširenoj matrici sistema.

Potrebno je da se, primenom elementarnih transformacija, prvo svede na trougaonu formu, a nakon toga je lako svesti i na dijagonalnu, iz koje jednostavno možeš očitati koju vrednost ima koja promenljiva.
Možeš pogledati ovu temu, tamo smo o tome govorili detaljnije.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Kroneker–Kapelijeva teorema

Postod desideri » Nedelja, 05. April 2015, 17:52

Da razjasnimo odmah nešto: sistem [inlmath]m[/inlmath] linearnih jednačina sa [inlmath]n[/inlmath] nepoznatih ne rešava se primenom teoreme Kroneker-Kapelija. Evo i formalnog iskaza teoreme:

Sistem [inlmath]m[/inlmath] linearnih jednačina sa [inlmath]n[/inlmath] nepoznatih je saglasan akko (ako i samo ako – ekvivalencija u logici) matrica sistema i proširena matrica sistema imaju isti rang. Ako je taj rang jednak broju nepoznatih [inlmath]n[/inlmath], sistem ima tačno jedno rešenje. Ako je taj rang manji od broja nepoznatih, sistem ima beskonačno mnogo rešenja.

Dakle, ova teorema služi samo za diskusiju sistema linearnih jednačina, ne i za njegovo rešavanje. U zadacima se najčešće koristi kada je zadat parametar (parametri) u sistemu jednačina, i može se primeniti i za "pravougaone" sisteme (kada [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] nisu isti) a ne samo za kvadratne ([inlmath]m=n[/inlmath]) gde se može raditi i preko determinanti (Kramerovom teoremom).
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Kroneker–Kapelijeva teorema

Postod Ilija » Nedelja, 05. April 2015, 18:36

Inače, ovo je zadatak sa jednog kolokvijuma koji kaže rešiti sistem jednačina primenom Kroneker-Kapelijeve teoreme, Kramerovim pravilom ili matričnom metodom. Posmislio sam da bi ovaj način bio najelegantniji za rešavanje, pošto se kod ostala dva dobije mnogo determinanti za računanje.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Kroneker–Kapelijeva teorema

Postod desideri » Ponedeljak, 06. April 2015, 06:00

Ponavljam: Nemoguće je bilo koji sistem linearnih jednačina rešiti primenom teoreme Kroneker–Kapelija.
Može se samo diskutovati sistem. U ovom slučaju nađe se da je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema i iznosi [inlmath]4[/inlmath].
To znači da sistem ima jedinstveno rešenje. Ja sam ga potom rešio matričnom metodom:
[dispmath]AX=B\\
X=A^{-1}B\\
X=\begin{bmatrix}
2\\
-2\\
-1\\
1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Za proveru tačnosti rešenja može se koristiti Excel. Na način izložen u linkovanoj temi sistem se rešava za oko [inlmath]30[/inlmath] sekundi.
Naravno da je moguće rešiti sistem i na način koji je pokazao Daniel (to je i najbrži i najelegantniji metod za "ručni" rad) ali to nije rešavanje primenom teoreme Kroneker–Kapelija.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 09:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs