Hajde da ga dovršimo:
[dispmath]D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & y^2-x^2 & z^2-x^2\\ 0 & y^3-x^3 & z^3-x^3 \end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &(y-x)(y+x) & (z-x)(z+x)\\ 0 &(y-x)\left(y^2+xy+x^2\right) & (z-x)\left(z^2+zx+x^2\right) \end{vmatrix}[/dispmath]
Korišćeno je elementarno razlaganje razlike kvadrata i kubova.
A sada se koristi osobina da, ako je neka vrsta ili kolona determinante pomnožena
istim brojem, taj broj se može izvući ispred determinante. Ovde imamo dva takva broja, i u drugoj i u trećoj koloni:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & (z+x)\\ 0 &\left(y^2+xy+x^2\right) & \left(z^2+zx+x^2\right) \end{vmatrix}[/dispmath]
Sada je potrebno pomnožiti drugu
kolonu brojem [inlmath]-1[/inlmath] i dodati je trećoj koloni (zar nije zanimljivo
):
[dispmath]D=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & (z-y)\\ 0 & \left(y^2+xy+x^2\right) & (z-y)(z+y+x) \end{vmatrix}[/dispmath]
Priznajem, sređivanje poslednjeg člana nisam baš detaljno obrazložio, no potrudi se malo i ti
Sada opet izvlačimo ispred determinante zajednički faktor iz treće kolone:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & 1\\ 0 & \left(y^2+xy+x^2\right) & (z+y+x) \end{vmatrix}[/dispmath]
Nastavljamo bodro i čilo da koristimo osobine determinante!
Pomnožimo drugu
vrstu faktorom [inlmath]-y[/inlmath] i dodajmo je trećoj vrsti. Zar nije uzbudljivo?
Dobijamo:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & 1\\ 0 & x^2 & (x+z) \end{vmatrix}[/dispmath]
Možda će neko primetiti da imam višak zagrada i to je tačno, no smatrao sam da će ovako biti preglednije. Molim kolege iz moderatorskog tima da ne uklanjaju moje zagrade. Noli tangere "zagrade" meos! Što bi rekao Arhimed, ili nešto tako
E sada drugu vrstu množim brojem [inlmath]-x[/inlmath] i dodajem je trećoj vrsti.
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & 1\\ 0 & -xy & z \end{vmatrix}[/dispmath]
Krajnje je vreme da razvijemo ovu determinantu, svedena je na dva puta dva:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)(xy+xz+yz)[/dispmath]
p.s. Naravno da se zadatak može i kraće algebarski uraditi, prostim razvijanjem početne determinante, no poenta zadatka (kako sam ga ja shvatio) jeste da se baš-baš koriste osobine i elementarne transformacije determinante.