Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Pokazati da je span(span(A))=span(A)

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Pokazati da je span(span(A))=span(A)

Postod besnaglista » Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 12:50

Zdravo svima! Jel bi mi mogao neko pomoci i reci da li sam zadatke tacno uradila?
Prvi je da dokazem:

[inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)=\text{span}(A)[/inlmath], gde je [inlmath]\text{span}(A)[/inlmath] skup svih linearnih kombinacija skupa [inlmath]A[/inlmath]. Ja sam to ovako:

[inlmath]a_i\in A[/inlmath] pa je [inlmath]a_1v_1+\cdots+a_nv_n\in\text{span}(A)[/inlmath]

E sad sam pokusala videti kako izgledaju linearne kombinacije linearnih kombinacija, tj [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/inlmath]:
[dispmath](a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_1+\cdots+(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_n\in\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/dispmath]
Onda sam [inlmath]a_i[/inlmath] izvukla napolje i pomnozila sa [inlmath]n[/inlmath] jer se ponavljaju [inlmath]n[/inlmath] puta.
[dispmath]na_1(v_1w_1+\cdots+v_1w_n)+\cdots+na_n(v_nw_1+\cdots+v_nw_n)[/dispmath]
A ovo je po definiciji takodje linearna kombinacija skupa [inlmath]A[/inlmath], tako da to prirada skupu [inlmath]\text{span}(A)[/inlmath], te je [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)\subseteq\text{span}(A)[/inlmath]

Znam da je [inlmath]A\subseteq\text{span}(A)[/inlmath] i da [inlmath]A\subseteq B\;\Longrightarrow\;\text{span}(A)\subseteq\text{span}(B)[/inlmath]

Pa je [inlmath]\text{span}(A)\subseteq\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/inlmath] i onda je [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)=\text{span}(A)[/inlmath]

Pre nego sto napisem drugi zadatak, jel bi mi mogao ko reci, da li je ovo tacno, ili ispraviti gde sam pogresila? Hvala unapred.
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: span(span(A))

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 13:28

besnaglista je napisao:[dispmath](a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_1+\cdots+(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_n\in\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/dispmath]
Onda sam [inlmath]a_i[/inlmath] izvukla napolje i pomnozila sa [inlmath]n[/inlmath] jer se ponavljaju [inlmath]n[/inlmath] puta.
[dispmath]na_1(v_1w_1+\cdots+v_1w_n)+\cdots+na_n(v_nw_1+\cdots+v_nw_n)[/dispmath]

Moglo bi se reci da je sve odlicno uradjeno, osim ovog dela koji je sporan (u principu, dokaz posle je isti, samo sto ovo nije bas najbolje oznaceno). Naime, ne znam otkud se pojavilo ovo [inlmath]n[/inlmath]? Jer, pogledajmo malo bolje (iz prvog izraza) sta stoji uz [inlmath]a_1[/inlmath]. Naime, to je [inlmath]v_1w_1[/inlmath] iz prvog sabirka, pa [inlmath]v_1w_2[/inlmath] iz drugog, tj. [inlmath]v_1w_n[/inlmath] iz [inlmath]n[/inlmath]-tog. Dakle, uz [inlmath]a_1[/inlmath] stoji sta?
 
Postovi: 599
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 567 puta

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

Postod besnaglista » Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 14:41

Nekako sam mahinalno to [inlmath]n[/inlmath] napisala, racunajuci da se svako [inlmath]a[/inlmath] [inlmath]n[/inlmath] puta ponavlja. Sad sam lepo peske sve izmnozila, ovako ce da izgleda:
[dispmath]a_1(v_1w_1+v_1w_2+\cdots+v_1w_n)+a_2(v_2w_1+v_2w_2+\cdots+v_2w_n)+\cdots+a_n(v_nw_1+v_nw_2+\cdots+v_nw_n)[/dispmath]
Hvala lepo na odgovoru. Jel mogu ja jos jedan zadatak ovog tipa da postavim, tj moje resenje pa ako mozes i za njega da kazes jel u redu?
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 14:48

Da, tako je.

Naravno da mozes da postavis nov problem (sad, da li cu ja ili neko drugi znati da odgovorim, to ne znam), i to u novoj temi naravno. I nema potrebe da pitas da li smes ili ne, jer uvek si dobrodosla da postavis neki problem, ili pak da pomognes nekome za neki drugi problem (dok god je to u skladu s Pravilnikom, a ova tvoja tema svakako to jeste).

Inace, u vezi s ovim zadatkom, ponekad se umesto [inlmath]\text{span}[/inlmath] (sto potice od eng. spanned (tj. razapet prostor)), koristi i [inlmath]\text{Lin}[/inlmath] (ili pak [inlmath]\text{lin}[/inlmath]), sto oznacava isto, ali mozda vise asocira na lineal datog prostora (skupa).

I jos jedna stvar, da napomenem da smo mi u tvom problemu sve vreme koristili skalare, tj. koeficijente, ali smo precutno izbegavali da formalno govorimo kom polju oni pripadaju (jer ipak smo koristli da iz [inlmath]v_i\in V[/inlmath] i [inlmath]w_j\in V[/inlmath] sledi [inlmath]v_iw_j\in V[/inlmath] (gde je [inlmath]V[/inlmath] recimo polje odakle su nasi koeficijenti)). Tacnije, ako hocemo da budemo bas cepidlake, [inlmath]A[/inlmath] bi trebalo da shvatimo kao neki vektorski prostor nad nekim poljem.
 
Postovi: 599
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 567 puta

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

Postod besnaglista » Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 15:42

Zapravo da, ne bi smela zaboraviti to da dodam. [inlmath]A\subseteq\mathbb{R}^n[/inlmath], a [inlmath]v,w\in\mathbb{R}[/inlmath]. Npr tako.

Sto se drugog zadatka tice, dokazati da:

[inlmath]\{v_1,\ldots,v_k\}=V[/inlmath] je baza od [inlmath]A\;\Rightarrow\;\text{span}(A)=\text{span}(V)[/inlmath]

Posto je [inlmath]V\subseteq A[/inlmath] onda je [inlmath]\text{span}(V)\subseteq\text{span}(A)[/inlmath] (isto kao u predhodnom zadatku)

[inlmath]V[/inlmath] je baza od [inlmath]A[/inlmath], tj elementi iz [inlmath]A[/inlmath] su linearne kombinacije elemenata iz [inlmath]V[/inlmath]. Tako da [inlmath]A\subseteq\text{span}(V)[/inlmath]

Sad opet na isti fazon mogu reci da [inlmath]\text{span}(A)\subseteq\text{span}\big(\text{span}(V)\big)[/inlmath]. Znam da je [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(V)\big)=\text{span}(V)[/inlmath], pa je [inlmath]\text{span}(A)\subseteq\text{span}(V)[/inlmath].

Tako da: [inlmath]\text{span}(V)=\text{span}(A)[/inlmath]

Sto se oznaka tice, nisam znala da se moze i [inlmath]\text{Lin}[/inlmath] pisati. Studiram na nemackom, a oznake i nazivi nisu uvek isti kao kod nas ili na engleskom, pa cesto i ne znam kako se nesto kaze kod nas ili zapisuje. U svakom slucaju smo se razumeli ;)
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 16:32

Da, to je dobro.
 
Postovi: 599
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 567 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 17. Januar 2020, 23:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs