Pokazati da je span(span(A))=span(A)

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 12:50
od besnaglista
Zdravo svima! Jel bi mi mogao neko pomoci i reci da li sam zadatke tacno uradila?
Prvi je da dokazem:

[inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)=\text{span}(A)[/inlmath], gde je [inlmath]\text{span}(A)[/inlmath] skup svih linearnih kombinacija skupa [inlmath]A[/inlmath]. Ja sam to ovako:

[inlmath]a_i\in A[/inlmath] pa je [inlmath]a_1v_1+\cdots+a_nv_n\in\text{span}(A)[/inlmath]

E sad sam pokusala videti kako izgledaju linearne kombinacije linearnih kombinacija, tj [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/inlmath]:
[dispmath](a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_1+\cdots+(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_n\in\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/dispmath]
Onda sam [inlmath]a_i[/inlmath] izvukla napolje i pomnozila sa [inlmath]n[/inlmath] jer se ponavljaju [inlmath]n[/inlmath] puta.
[dispmath]na_1(v_1w_1+\cdots+v_1w_n)+\cdots+na_n(v_nw_1+\cdots+v_nw_n)[/dispmath]
A ovo je po definiciji takodje linearna kombinacija skupa [inlmath]A[/inlmath], tako da to prirada skupu [inlmath]\text{span}(A)[/inlmath], te je [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)\subseteq\text{span}(A)[/inlmath]

Znam da je [inlmath]A\subseteq\text{span}(A)[/inlmath] i da [inlmath]A\subseteq B\;\Longrightarrow\;\text{span}(A)\subseteq\text{span}(B)[/inlmath]

Pa je [inlmath]\text{span}(A)\subseteq\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/inlmath] i onda je [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(A)\big)=\text{span}(A)[/inlmath]

Pre nego sto napisem drugi zadatak, jel bi mi mogao ko reci, da li je ovo tacno, ili ispraviti gde sam pogresila? Hvala unapred.

Re: span(span(A))

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 13:28
od Onomatopeja
besnaglista je napisao:[dispmath](a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_1+\cdots+(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)w_n\in\text{span}\big(\text{span}(A)\big)[/dispmath]
Onda sam [inlmath]a_i[/inlmath] izvukla napolje i pomnozila sa [inlmath]n[/inlmath] jer se ponavljaju [inlmath]n[/inlmath] puta.
[dispmath]na_1(v_1w_1+\cdots+v_1w_n)+\cdots+na_n(v_nw_1+\cdots+v_nw_n)[/dispmath]

Moglo bi se reci da je sve odlicno uradjeno, osim ovog dela koji je sporan (u principu, dokaz posle je isti, samo sto ovo nije bas najbolje oznaceno). Naime, ne znam otkud se pojavilo ovo [inlmath]n[/inlmath]? Jer, pogledajmo malo bolje (iz prvog izraza) sta stoji uz [inlmath]a_1[/inlmath]. Naime, to je [inlmath]v_1w_1[/inlmath] iz prvog sabirka, pa [inlmath]v_1w_2[/inlmath] iz drugog, tj. [inlmath]v_1w_n[/inlmath] iz [inlmath]n[/inlmath]-tog. Dakle, uz [inlmath]a_1[/inlmath] stoji sta?

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 14:41
od besnaglista
Nekako sam mahinalno to [inlmath]n[/inlmath] napisala, racunajuci da se svako [inlmath]a[/inlmath] [inlmath]n[/inlmath] puta ponavlja. Sad sam lepo peske sve izmnozila, ovako ce da izgleda:
[dispmath]a_1(v_1w_1+v_1w_2+\cdots+v_1w_n)+a_2(v_2w_1+v_2w_2+\cdots+v_2w_n)+\cdots+a_n(v_nw_1+v_nw_2+\cdots+v_nw_n)[/dispmath]
Hvala lepo na odgovoru. Jel mogu ja jos jedan zadatak ovog tipa da postavim, tj moje resenje pa ako mozes i za njega da kazes jel u redu?

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 14:48
od Onomatopeja
Da, tako je.

Naravno da mozes da postavis nov problem (sad, da li cu ja ili neko drugi znati da odgovorim, to ne znam), i to u novoj temi naravno. I nema potrebe da pitas da li smes ili ne, jer uvek si dobrodosla da postavis neki problem, ili pak da pomognes nekome za neki drugi problem (dok god je to u skladu s Pravilnikom, a ova tvoja tema svakako to jeste).

Inace, u vezi s ovim zadatkom, ponekad se umesto [inlmath]\text{span}[/inlmath] (sto potice od eng. spanned (tj. razapet prostor)), koristi i [inlmath]\text{Lin}[/inlmath] (ili pak [inlmath]\text{lin}[/inlmath]), sto oznacava isto, ali mozda vise asocira na lineal datog prostora (skupa).

I jos jedna stvar, da napomenem da smo mi u tvom problemu sve vreme koristili skalare, tj. koeficijente, ali smo precutno izbegavali da formalno govorimo kom polju oni pripadaju (jer ipak smo koristli da iz [inlmath]v_i\in V[/inlmath] i [inlmath]w_j\in V[/inlmath] sledi [inlmath]v_iw_j\in V[/inlmath] (gde je [inlmath]V[/inlmath] recimo polje odakle su nasi koeficijenti)). Tacnije, ako hocemo da budemo bas cepidlake, [inlmath]A[/inlmath] bi trebalo da shvatimo kao neki vektorski prostor nad nekim poljem.

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 15:42
od besnaglista
Zapravo da, ne bi smela zaboraviti to da dodam. [inlmath]A\subseteq\mathbb{R}^n[/inlmath], a [inlmath]v,w\in\mathbb{R}[/inlmath]. Npr tako.

Sto se drugog zadatka tice, dokazati da:

[inlmath]\{v_1,\ldots,v_k\}=V[/inlmath] je baza od [inlmath]A\;\Rightarrow\;\text{span}(A)=\text{span}(V)[/inlmath]

Posto je [inlmath]V\subseteq A[/inlmath] onda je [inlmath]\text{span}(V)\subseteq\text{span}(A)[/inlmath] (isto kao u predhodnom zadatku)

[inlmath]V[/inlmath] je baza od [inlmath]A[/inlmath], tj elementi iz [inlmath]A[/inlmath] su linearne kombinacije elemenata iz [inlmath]V[/inlmath]. Tako da [inlmath]A\subseteq\text{span}(V)[/inlmath]

Sad opet na isti fazon mogu reci da [inlmath]\text{span}(A)\subseteq\text{span}\big(\text{span}(V)\big)[/inlmath]. Znam da je [inlmath]\text{span}\big(\text{span}(V)\big)=\text{span}(V)[/inlmath], pa je [inlmath]\text{span}(A)\subseteq\text{span}(V)[/inlmath].

Tako da: [inlmath]\text{span}(V)=\text{span}(A)[/inlmath]

Sto se oznaka tice, nisam znala da se moze i [inlmath]\text{Lin}[/inlmath] pisati. Studiram na nemackom, a oznake i nazivi nisu uvek isti kao kod nas ili na engleskom, pa cesto i ne znam kako se nesto kaze kod nas ili zapisuje. U svakom slucaju smo se razumeli ;)

Re: Pokazati da je span(span(A))=span(A)

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Novembar 2015, 16:32
od Onomatopeja
Da, to je dobro.