Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Dokaz za vektorski prostor

Matrice, determinante...

Dokaz za vektorski prostor

Postod zlatna ribica » Petak, 04. Decembar 2015, 21:13

Dokazati da je [inlmath](M_{m\times n},+,\cdot)[/inlmath] vektorski prostor ako je [inlmath]+[/inlmath] operacija sabiranje matrica, a [inlmath]\cdot[/inlmath] operacija množenja matrice realnim brojem.
Da li neko može da mi pomogne oko ovog dokaza pošto se sa teorijom zaista ne snalazim?
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokaz za vektorski prostor

Postod desideri » Nedelja, 06. Decembar 2015, 19:40

Tvoja tema je na moju sugestiju prebačena u "Linearnu algebru" posle konsultacija u moderatorskom timu.
Molim te da najpre objasniš zašto je ovo (po mom mišljenju) svrsishodno prebacivanje teme, pa da ti odgovorimo na pitanje.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Dokaz za vektorski prostor

Postod zlatna ribica » Nedelja, 06. Decembar 2015, 20:10

Moja je greška što sam u žurbi stavila u vektore. Vektorski prostori zapravo se izučavaju u oblasti linearne algebre, koja se još odnosi i na matrice i determinante :)
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Dokaz za vektorski prostor

Postod Onomatopeja » Nedelja, 06. Decembar 2015, 22:16

Dakle, potrebno je proveriti da li [inlmath](M_{m\times n},+,\cdot)[/inlmath] predstavlja vektorski prostor nad poljem realnih brojeva, tj. da li su zadovoljena sva pravila da bi nesto imalo strukturu vektorskog prostora. Onda, koja osobina ti pravi problem? Napomenuo bih i to da ovo nije bas toliko teorijski zadatak koliko se na prvi pogled to nekome moze uciniti, jer se zna postupak kako resiti dati problem.
 
Postovi: 609
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 583 puta

Re: Dokaz za vektorski prostor

Postod zlatna ribica » Nedelja, 06. Decembar 2015, 22:22

Prvi uslov mi je da matrica sa ovom operacijom [inlmath]+[/inlmath] predstavlja Abelovu grupu. Meni je problem što ne znam šta kako da zapišem. Zato sam i napisala da se ne snalazim sa teorijom jer je ovo prvi put da se susrećem sa nekom vrstom dokaza.
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Dokaz za vektorski prostor

Postod Onomatopeja » Nedelja, 13. Decembar 2015, 18:10

U redu, verujem da znas koje osobine bi trebale da budu ispunjeno da bi nesto bilo Abelova grupa. Ali, da, zaista izgleda da imas mali problem kako da te „teorijske“ uslove proveris u ovom konkretnom primeru. Zato, evo male pomoci. Naime, evo kako bismo proverili da vazi komutativnost u strukturi [inlmath](M_{m \times n}, +)[/inlmath], tj. da vazi [inlmath]a+b=b+a[/inlmath] za proizvoljne elemente [inlmath]a,b \in M_{m \times n}[/inlmath]. Naime, neka su
[dispmath]a = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \,\,\,\quad \text{ i } \,\,\,\quad b = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & b_{m3} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}[/dispmath]
reprezentacije posmatranih elemenata iz [inlmath]M_{m \times n}[/inlmath], za neke [inlmath]a_{ij},b_{ij} \in \mathbb{R}[/inlmath] (gde [inlmath]i=1,2,\ldots,m[/inlmath], [inlmath]j=1,2,\ldots,n[/inlmath]). Tada je (prema samoj definiciji sabiranja elemenata iz [inlmath]M_{m \times n}[/inlmath])
[dispmath]a+b = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & a_{m3} + b_{m3} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}.[/dispmath]
Kako u [inlmath]a_{ij},b_{ij} \in \mathbb{R}[/inlmath], to vazi [inlmath]a_{11}+b_{11} = b_{11}+a_{11}, a_{12}+b_{12}=b_{12}+a_{12}[/inlmath], i tako dalje (ako cemo bas da cepidlacimo, a i nije lose, to vazi jer je i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] jedan vektorski prostor, posmatran nad samim sobom, te u njemu vazi komutativnost), to je jasno da je poslednji izraz jednak sa
[dispmath]\begin{bmatrix} b_{11} + a_{11} & b_{12} + a_{12} & b_{13} + a_{13} & \cdots & b_{1n} + a_{1n} \\ b_{21} + a_{21} & b_{22} + a_{22} & b_{23} + a_{23} & \cdots & b_{2n} + a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} + a_{m1} & b_{m2} + a_{m2} & b_{m3} + a_{m3} & \cdots & b_{mn} + a_{mn} \end{bmatrix},[/dispmath] sto je jasno jednako sa [inlmath]b+a[/inlmath].

Dakle, time smo pokazali da je [inlmath]a+b = b+a[/inlmath] za proizvoljne [inlmath]a,b \in M_{m \times n}[/inlmath], odnosno da u strukturi [inlmath](M_{m \times n}, +)[/inlmath] vazi komutativnost. Ostalo je da se pokazu ostale osobine da bi [inlmath](M_{m \times n}, +)[/inlmath] imalo strukturu Abelove (komutativne) grupe, a potom i ostale osobine vektorskog prostora. Ako bude problema, ti pitaj.

Takodje, napomenuo bih da sam koristio istu oznaku [inlmath]+[/inlmath] i za sabiranje u [inlmath]M_{m\times n}[/inlmath], i za sabiranje u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].
 
Postovi: 609
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 583 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 09. Avgust 2020, 01:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs