Ćao!
Molim vas da mi pomognete da shvatim jedan dokaz.
Zadnji dio dokaza jedne leme o vezi sistema linearnih jednačina i linearne zavisnosti mi pravi problem. Takođe, sada će i Lateh da mi napravi problem! Lema je sledeća:
Neka su [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_m\in\mathbb{R}^n[/inlmath] vektori. Ako prilikom rješavanja sistema [inlmath][\alpha_1\cdot a_1+\alpha_2\cdot a_2+\cdots+\alpha_m\cdot a_m=0]\;(1)[/inlmath], bez umanjenja opštosti, dobijemo da su [inlmath]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/inlmath] zavisno promjenljive, onda je [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_k[/inlmath] maksimalan linearno nezavisan podniz datog niza [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_m[/inlmath].
Dokaz ide ovako:
Pretpostavimo suprotno, da su [inlmath]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/inlmath] zavisno promjenljive, a [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_k[/inlmath] linearno nezavisni vektori. Tada slijedi da postoji [inlmath]\left(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k\right)\in\mathbb{R}^k\setminus\left\{\vec0\right\}[/inlmath], tako da je [inlmath]\beta_1\cdot b_1+\beta_2\cdot b_2+\cdots+\beta_k\cdot b_k=0[/inlmath].
Očigledno, sada važi i: [inlmath]\beta_1\cdot b_1+\cdots+\beta_k\cdot b_k+0\cdot a_{k+1}+\cdots+0\cdot a_m=0[/inlmath].
Takođe, može se primijetiti da se opšte rješenje sistema [inlmath](1)[/inlmath] može napisati kao:
[dispmath]\alpha_1=\delta_{k+1}^1\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^1\cdot\alpha_m\\
\alpha_2=\delta_{k+1}^2\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^2\cdot\alpha_m\\
\vdots\\
\alpha_k=\delta_{k+1}^k\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^k\cdot\alpha_m,[/dispmath]
za neke [inlmath]\delta_j^i,\;1\le i\le k,\;k+1\le j\le m[/inlmath].
Do ovde mi je sve jasno. Onda se u dokazu kaže:
Neka je [inlmath]\beta_e\ne0[/inlmath], onda se iz [inlmath](2)[/inlmath] (što su opšta rješenja sistema [inlmath](1)[/inlmath]) dobija, [inlmath]\beta_l=\delta_{k+1}^l\cdot 0+\cdots+\delta_n^k\cdot0=0[/inlmath], što je kontradikcija. I to je cio dokaz.
Sada, ja shvatam da moramo pretpostaviti da je jedan od beta različit od nule, i da ga moramo posmatrati kako bi odatle dobili da su sve bete jednake nuli, ali ne znam kako je dobijena [inlmath]\beta_l[/inlmath]. Može biti i da sam ja pogrešno prepisao dokaz sa table (ako jesam onda je to zadnja rečenica), pa sam zbunjen nelogičnom oznakom.
Čestitam Božić svim forumašima koji ga danas proslavljaju.