Prije nego što započnem temu, molim administratore da, ako je moguće, postave sledeći izraz u naslov: [inlmath]\{ e^{ax} : a \in \mathbb{R} \}[/inlmath].
Sada da pređem na stvar. Dakle, interesuje me ako bih mogao da dobijem pojašnjenje rješenja sljedećeg zadatka:
Dokazati da je skup [inlmath]E = \{ e^{ax} : a \in \mathbb{R} \}[/inlmath] linearno nezavisan niz vektora iz [inlmath]C(\mathbb{R})[/inlmath] (Skup svih neprekidnih funcija na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Ne znam da li se ovdje koristi neko drugo "c" za ovaj skup.).
Što se tiče rješenja, mene malčice zbunjuje samo početak, koji glasi:
Skup E je skup linearno nezavisnih vektora akko je za sve [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath], i sve [inlmath]a_1, a_2, ..., a_k \in \mathbb{R}[/inlmath], (gdje bez umanjenja opštosti može da se uzme da je [inlmath]a_1 < a_2 < ... < a_k[/inlmath]) niz [inlmath]\{e^{a_1x}, e^{a_2x}, ..., e^{a_kx}\}[/inlmath] linearno nezavisan.
Dakle, ja znam da ako je neki niz vektora linearno nezavisan, onda je i svaki podniz tog niza, takođe linerno nezavisan niz vektora, te da se u rješenju gornjeg zadatka želi dokazati linearna nezavisnost proizvoljnog podskupa skupa E. Međutim, kako je [inlmath]a \in \mathbb{R}[/inlmath], a [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath], i kako ne postoji bijekcija između ta dva skupa brojeva, da li se pomoću proizvoljnog prirodnog broja može predstaviti proizvoljan podskup skupa E (Mislim da se može uspostaviti bijekcija između E i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].), tj. da li prirodan broj može biti kardinal proizvoljnog podskupa skupa čiji je kardinalni broj jednak kardinalu od [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]? (Valjda je jasno šta me muči, a ako nije zatražite dodatna objašnjenja.)