Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Linearna nezavisnost elemenata skupa

Matrice, determinante...

Linearna nezavisnost elemenata skupa

Postod Gogele » Sreda, 30. Decembar 2015, 18:43

Prije nego što započnem temu, molim administratore da, ako je moguće, postave sledeći izraz u naslov: [inlmath]\{ e^{ax} : a \in \mathbb{R} \}[/inlmath].

Sada da pređem na stvar. Dakle, interesuje me ako bih mogao da dobijem pojašnjenje rješenja sljedećeg zadatka:

Dokazati da je skup [inlmath]E = \{ e^{ax} : a \in \mathbb{R} \}[/inlmath] linearno nezavisan niz vektora iz [inlmath]C(\mathbb{R})[/inlmath] (Skup svih neprekidnih funcija na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Ne znam da li se ovdje koristi neko drugo "c" za ovaj skup.).

Što se tiče rješenja, mene malčice zbunjuje samo početak, koji glasi:

Skup E je skup linearno nezavisnih vektora akko je za sve [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath], i sve [inlmath]a_1, a_2, ..., a_k \in \mathbb{R}[/inlmath], (gdje bez umanjenja opštosti može da se uzme da je [inlmath]a_1 < a_2 < ... < a_k[/inlmath]) niz [inlmath]\{e^{a_1x}, e^{a_2x}, ..., e^{a_kx}\}[/inlmath] linearno nezavisan.

Dakle, ja znam da ako je neki niz vektora linearno nezavisan, onda je i svaki podniz tog niza, takođe linerno nezavisan niz vektora, te da se u rješenju gornjeg zadatka želi dokazati linearna nezavisnost proizvoljnog podskupa skupa E. Međutim, kako je [inlmath]a \in \mathbb{R}[/inlmath], a [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath], i kako ne postoji bijekcija između ta dva skupa brojeva, da li se pomoću proizvoljnog prirodnog broja može predstaviti proizvoljan podskup skupa E (Mislim da se može uspostaviti bijekcija između E i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].), tj. da li prirodan broj može biti kardinal proizvoljnog podskupa skupa čiji je kardinalni broj jednak kardinalu od [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]? (Valjda je jasno šta me muči, a ako nije zatražite dodatna objašnjenja.) :)
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Linearna nezavisnost elemenata skupa

Postod Onomatopeja » Sreda, 30. Decembar 2015, 21:59

Da, to je oznaka koja se obicno koristi za prostor neprekidnih funkcija iz [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] (mada se obicno gleda slucaj da slikamo u [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], no dobro).

Ja bih te podsetio da beskonacan skup [inlmath]S \subseteq V[/inlmath] (gde je [inlmath]V[/inlmath] recimo taj neki vektorski prostor gde sve posmatramo) je linearno nezavisan (po definiciji) ako i samo ako je svaki konacan podskup (dakle, kardinalnosti [inlmath]n[/inlmath], za neko [inlmath]n \in \mathbb{N}[/inlmath]) [inlmath]T[/inlmath] od [inlmath]S[/inlmath] linearno nezavisan ([inlmath]T[/inlmath] linearno nezavisan).

Mi ovde svakako imamo takvu situaciju, jer je [inlmath]|E| = \mathfrak{c}[/inlmath] (kardinalnost od [inlmath]E[/inlmath] je kontinuum). Konkretno kod nas je [inlmath]V = C(\mathbb{R})[/inlmath], [inlmath]S=E[/inlmath], a primer proizvoljnog konacanog skup [inlmath]T[/inlmath] je svakako taj skup koji si napisao (mislim na [inlmath]\{e^{a_1 x}...\}[/inlmath]). Ako pokazemo za proizvoljan podskup, onda smo pokazali i za svaki.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Linearna nezavisnost elemenata skupa

Postod Gogele » Četvrtak, 31. Decembar 2015, 16:00

Prije svega, hvala na odgovoru! Sad je taj problem riješen.

Onomatopeja je napisao:Ja bih te podsetio da beskonacan skup [inlmath]S \subseteq V[/inlmath] (gde je [inlmath]V[/inlmath] recimo taj neki vektorski prostor gde sve posmatramo) je linearno nezavisan (po definiciji) ako i samo ako je svaki konacan podskup (dakle, kardinalnosti [inlmath]n[/inlmath], za neko [inlmath]n \in \mathbb{N}[/inlmath]) [inlmath]T[/inlmath] od [inlmath]S[/inlmath] linearno nezavisan ([inlmath]T[/inlmath] linearno nezavisan).


Ja sam napisao u prethodnom postu da znam da je niz vektora linearno nezavisan ako mu je linearno nezavisan svaki njegov podniz, ali ovu definiciju o odnosu linearne zavisnosti beskonačnog skupa i njegovih konačnih podskupova nisam znao. Linearnu algebru učim iz knjige ˝Elementi linearne algebre˝, čiji su autori Zoran Stojaković i Ivica Bošnjak i tu nema takve definicije, već samo ova u kojoj se koristi pojam "niz vektora". Možda tvrdnja koju sam citirao slijedi iz ove definicije koju ja već znam, ali mi uopšte nije padalo na pamet da bi se mogli diskutovati ovakvi slučajevi (Nisam neki vrli matematičar, ako mi je to olakšavna okolnost. :)). Hvala još jednom! Ide pohvala! :thumbup:
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs