od Onomatopeja » Subota, 18. Jun 2016, 19:58
Neka je [inlmath]\mu_A(\lambda)[/inlmath] minimalni polinom date matrice. U nasem slucaju je [inlmath]\mu_A(\lambda) = (\lambda+1)^3[/inlmath]. Tada [inlmath]\lambda^n[/inlmath] mozemo podeliti sa minimalnim polinomom, tj. vazi
[dispmath]\lambda^n = (\lambda+1)^3 q_n(\lambda) + a_n \lambda^2 + b_n \lambda + c_n. \tag{1}[/dispmath]
Diferencirajuci dva puta po [inlmath]\lambda[/inlmath] dobijamo
[dispmath]\begin{align*}
n \lambda^{n-1} &= 3(\lambda+1)^2 q_n(\lambda) + (\lambda+1)^3 q_n'(\lambda) + 2a_n \lambda + b_n\\
n(n-1)\lambda^{n-2} &=3(\lambda+1)(2q_n(\lambda) + (\lambda+1)q'_n(\lambda)) + 2a_n,
\end{align*}[/dispmath]
a potom stavljajuci [inlmath]\lambda=-1[/inlmath] i
[dispmath]\begin{align*}
(-1)^n &= a_n - b_n + c_n \\
-n(-1)^n &= -2a_n +b_n \\
n(n-1)(-1)^n &= 2a_n. \\
\end{align*}[/dispmath]
Resavajuci ovaj sistem dobijamo
[dispmath]\begin{align*}
a_n &= \frac{(-1)^n n(n-1)}{2},\\
b_n &= (-1)^n n(n-2),\\
c_n &= \frac{(-1)^n (n-1)(n-2)}{2}.
\end{align*}[/dispmath]
Sada, ubacimo [inlmath]\lambda=A[/inlmath] u [inlmath](1)[/inlmath], te dobijamo
[dispmath]A^n = (A+I)^3 q_n(A) + a_n A^2 + b_n A + I = a_n A^2 + b_n A + c_n I,[/dispmath]
gde smo iskoristili definiciju minimalnog polinoma, tj. da je [inlmath]\mu_A(A) = \mathbf{0}[/inlmath] ([inlmath]\mathbf{0}[/inlmath] je nula matrica). Sada ostaje jos da izracunas [inlmath]A^2[/inlmath] i da uvrstis [inlmath]a_n[/inlmath], [inlmath]b_n[/inlmath], [inlmath]c_n[/inlmath] za konacnu formulu. Kao konacno resenje bi trebalo da dobijes
[dispmath]A^n = \frac{(-1)^n}{2} \begin{bmatrix} 2(n^2-4n+1) & 3n-n^2 & n^2-5n \\ 2(n^2-6n) & -n^2+5n+2 & n^2-n \\ n^2-5n & n^2-7n & -n^2+3n+2 \end{bmatrix}, \quad n \ge 1.[/dispmath]
Dodao bih jos da se ovaj isti postupak moze ponoviti i ako koristimo karakteristican polinom umesto minimalnog, jer po Kejli-Hamiltonov teoremi imamo da matrica ponistava svoj karaktersiticni polinom (tj. ako je [inlmath]\varphi_A(\lambda)[/inlmath] karakteristicni onda je [inlmath]\varphi_A(A)=\mathbf{0}[/inlmath]).
Pogodnost prvog nacina (sa minimalnim) je sto je obicno stepen minimalnog strogo manji od stepena karakteristicnog, pa ces imati manje koeficijenata da odredis nego li da radis sa karaktersticnim. Sa druge strane, moramo peske da proverimo sta ce biti minimalni, dok karakteristicni imamo odmah, te bi to bila prednost koriscenja karakteristicnog. Npr, ovde smo imali da su karakteristicni i minimalni istog stepena, no to se nece uvek desiti.
Takodje, jos jedan nacin za nalazenje [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena matrice bi bio metod pogadjanja. Naime, izracuna se [inlmath]A^2[/inlmath], [inlmath]A^3[/inlmath], [inlmath]A^4[/inlmath], sve dok se ne uoci neki patern po kome se povecavaju stepeni. Tada se matematickom indukcijom i formalno dokaze da to sto pretpostavili zaista jeste [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen. No, u ovom primeru nije lako za uociti kako se menjaju stepeni.