-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
desideri
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Sreda, 21. Septembar 2016, 00:11
Označimo vrste matrice sa [inlmath]v_1[/inlmath], [inlmath]v_2[/inlmath] i [inlmath]v_3[/inlmath] i zapišemo ih sa strane,
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-3 & 2 & \lambda\\
2 & -3 & -6
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}[/dispmath]
i onda izvršimo elementarne transformacije radi svođenja na trougaonu formu, pri čemu sa strane obeležavamo linearnu kombinaciju koju smo izvršili. Npr. pošto ćemo drugoj vrsti dodati prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath], sa strane tamo gde smo imali [inlmath]v_2[/inlmath] sada pišemo [inlmath]v_2+3v_1[/inlmath]. Slično i za treću vrstu:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-3 & 2 & \lambda\\
2 & -3 & -6
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\;\sim\;\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 5 & \lambda+3\\
0 & -5 & -8
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2+3v_1\\
v_3-2v_1
\end{array}\;\sim\;\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 5 & \lambda+3\\
0 & 0 & \lambda-5
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2+3v_1\\
(v_3-2v_1)+(v_2+3v_1)
\end{array}[/dispmath]
U poslednjem koraku smo trećoj vrsti [inlmath](v_3-2v_1)[/inlmath] dodali drugu vrstu [inlmath](v_2+3v_1)[/inlmath].
[inlmath]\lambda[/inlmath] pri kojem je rang matrice najmanji iznosi [inlmath]5[/inlmath], do čega si već došao. Kada to uvrstimo, dobijemo da je treća vrsta nula-vrsta, pa [inlmath](v_3-2v_1)+(v_2+3v_1)[/inlmath] izjednačavamo s nulom, iz čega sledi
[dispmath](v_3-2v_1)+(v_2+3v_1)=0\\
\enclose{box}{v_3=-v_1-v_2}[/dispmath]
i to je ta međusobna zavisnost vrsta matrice, koja se tražila.
Zaista, ako vrste posmatraš kao vektore, pa napišeš tu relaciju,
[dispmath]\langle2,-3,-6\rangle=-\langle1,1,1\rangle-\langle-3,2,5\rangle[/dispmath]
videćeš da je ta relacija zadovoljena.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain