-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
Shorty44
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Sreda, 21. Septembar 2016, 00:40
Do osnovne ideje si i sâm došao. Znači, [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] posmatraš kao faktor u rastavljanju zbira kubova matrica [inlmath]A^3+I^3[/inlmath]. Nije potrebno da tražiš determinantu.
Kod množenja matrica treba biti malo oprezniji nego pri klasičnom množenju, budući da nije isto množenje sleva i množenje zdesna, ali to se može časkom proveriti:
[dispmath](A+I)\left(A^2-A+I\right)[/dispmath]
Primenimo zakon distribucije za množenje sleva,
[dispmath](A+I)A^2-(A+I)A+(A+I)I=A^3+\cancel{A^2}-\cancel{A^2}-\cancel A+\cancel A+I=A^3+I[/dispmath]
Pošto je po uslovu zadatka [inlmath]A^3=0[/inlmath], sledi da važi
[dispmath](A+I)\left(A^2-A+I\right)=I[/dispmath]
Isto tako, izračunajmo [inlmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)[/inlmath] ovaj put primenom zakona distribucije na množenje zdesna:
[dispmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=A^2(A+I)-A(A+I)+I(A+I)=A^3+\cancel{A^2}-\cancel{A^2}-\cancel A+\cancel A+I=A^3+I[/dispmath]
a pošto je [inlmath]A^3=0[/inlmath], sledi
[dispmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=I[/dispmath]
Inverzna matrica matrice [inlmath]X[/inlmath] je po definiciji ona za koju važi
[dispmath]X\cdot X^{-1}=X^{-1}\cdot X=I[/dispmath]
a pošto smo pokazali da je [inlmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=(A+I)\left(A^2-A+I\right)=I[/inlmath], sledi da je [inlmath](A+I)[/inlmath] inverzna matrica matrice [inlmath]\left(A^2-A+I\right)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain