Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Invertibilnost matrice i odredjivanje inverza

Matrice, determinante...

Invertibilnost matrice i odredjivanje inverza

Postod Shorty44 » Utorak, 20. Septembar 2016, 22:21

Neka je [inlmath]A[/inlmath] matrica takva da vrijedi [inlmath]A^3=0[/inlmath]. Ispitati da li je matrica [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] invertibilna i ako jeste odrediti joj inverz.

Posto se ispituje matrica [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] razmisljao sam da koristim zbir kubova [inlmath]A^3+I^3[/inlmath] i da onda pokusam da pokazem da determinanta od [inlmath]A[/inlmath] i od [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] nije jednaka nuli, ali ne znam kako. Novi sam na forumu, pa sam se trudio da ne krsim pravila, ali ne znam uraditi zadatak. Pa ako moze pomoc u vidu nekih ideja.
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Invertibilnost matrice i odredjivanje inverza

Postod Daniel » Sreda, 21. Septembar 2016, 00:40

Do osnovne ideje si i sâm došao. Znači, [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] posmatraš kao faktor u rastavljanju zbira kubova matrica [inlmath]A^3+I^3[/inlmath]. Nije potrebno da tražiš determinantu.
Kod množenja matrica treba biti malo oprezniji nego pri klasičnom množenju, budući da nije isto množenje sleva i množenje zdesna, ali to se može časkom proveriti:
[dispmath](A+I)\left(A^2-A+I\right)[/dispmath]
Primenimo zakon distribucije za množenje sleva,
[dispmath](A+I)A^2-(A+I)A+(A+I)I=A^3+\cancel{A^2}-\cancel{A^2}-\cancel A+\cancel A+I=A^3+I[/dispmath]
Pošto je po uslovu zadatka [inlmath]A^3=0[/inlmath], sledi da važi
[dispmath](A+I)\left(A^2-A+I\right)=I[/dispmath]
Isto tako, izračunajmo [inlmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)[/inlmath] ovaj put primenom zakona distribucije na množenje zdesna:
[dispmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=A^2(A+I)-A(A+I)+I(A+I)=A^3+\cancel{A^2}-\cancel{A^2}-\cancel A+\cancel A+I=A^3+I[/dispmath]
a pošto je [inlmath]A^3=0[/inlmath], sledi
[dispmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=I[/dispmath]
Inverzna matrica matrice [inlmath]X[/inlmath] je po definiciji ona za koju važi
[dispmath]X\cdot X^{-1}=X^{-1}\cdot X=I[/dispmath]
a pošto smo pokazali da je [inlmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=(A+I)\left(A^2-A+I\right)=I[/inlmath], sledi da je [inlmath](A+I)[/inlmath] inverzna matrica matrice [inlmath]\left(A^2-A+I\right)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 47 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs