Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Naći matricu A^n

Matrice, determinante...

Naći matricu A^n

Postod bakinatajna » Petak, 06. Januar 2017, 20:34

[dispmath]A=\begin{bmatrix}
x & a & a\\
a & x & a\\
a & a & x
\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath] A zadatak glasi: Naći [inlmath]A^n[/inlmath] uz pomoć matrice [inlmath]B[/inlmath].

Znam da je [inlmath]A=aB+(x-a)E[/inlmath].
Šta raditi?
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Naći matricu A^n

Postod Daniel » Subota, 07. Januar 2017, 07:40

Jeste, polaziš od te formule. Zatim je stepenuješ sa [inlmath]n[/inlmath], tj. primeniš binomnu formulu [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].
Pošto ćeš tu imati razne stepene matrice [inlmath]B[/inlmath], potrebno je da te stepene odrediš – može se pokazati da za [inlmath]k\ge1[/inlmath] važi [inlmath]B^k=3^{k-1}B[/inlmath]. Zatim to uvrstiš u binomni razvoj, vodeći računa da [inlmath]B^k=3^{k-1}B[/inlmath] ipak ne važi za [inlmath]k=0[/inlmath]...
Izvuci zatim ispred sume sve činioce koji ne zavise od [inlmath]k[/inlmath], a u onome što ostane unutar sume pokušaj da prepoznaš binomni razvoj nekog novog stepena binoma.

E sad, ja sam ovim postupkom dobio [inlmath]A^n=\frac{1}{3}\left[(x+2a)^n-(x-a)^n\right]B+(x-a)^nE[/inlmath], što jeste tačan izraz (provereno), mada ne znam koliko je baš prihvatljivo kao traženi oblik zapisa, ali ne vidim način da se dobije išta jednostavnije...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Naći matricu A^n

Postod Onomatopeja » Subota, 07. Januar 2017, 17:04

No, treba biti i oprezan, binomna formula za matrice vazi ako matrice komutiraju, jer mnozenje kod matrica nije komutativna operacija. Ta komutativnost je u ovom zadatku trivijalno ispunjena, te mozemo koristiti binomnu formulu u ovom obliku.

Sto se tice zapisa, licno, konacno resenje bih zapisao u obliku konkretne matrice, tj. napisao bih veliku matricu. A i ovaj @Danielov nacin je sasvim prihvatljiv, tj. tacan. (ako neko ne priznaje taj zapis, onda ne mogu da ga castim ni jednim drugim epitetom sem da je „slepac“)
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Naći matricu A^n

Postod bakinatajna » Subota, 07. Januar 2017, 18:54

Hvala vam puno, dosta ste mi pomogli! :)
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Naći matricu A^n

Postod Daniel » Subota, 07. Januar 2017, 19:03

@Onomatopeja, thnx za dopunu.
A u vezi sa zapisom rezultata – ja sam onaj deo rečenice u zadatku, „uz pomoć matrice [inlmath]B[/inlmath]“, upravo shvatio tako da ne treba rezultat izraziti pomoću te velike matrice, već napisati uprošćen izraz u kojem figuriše matrica [inlmath]B[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 55 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 10:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs