Pozdrav
Prvo da vidimo šta je vektor. Vektori su usmjerene duži u prostoru. Kao i duž tako je i vektor određen sa dvije tačke, ali za razliku od tačaka duži razlikujemo početnu i krajnju tačku vektora. Za vektore se koriste oznake [inlmath]\overrightarrow{AB}[/inlmath], gdje je [inlmath]A[/inlmath] početna, a [inlmath]B[/inlmath] krajnja tačka vektora, ili jednostavnije [inlmath]\overrightarrow a[/inlmath], ako nema zabune oko toga koja je početna, a koja krajnja tačka vektora.
Svaki vektor je određen sa tri elementa:
[inlmath]1.[/inlmath] Dužinom usmjerene duži kojom je predstavljen (intenzitet)
[inlmath]2.[/inlmath] Pravom kojoj duž pripada (pravac)
[inlmath]3.[/inlmath] Jednim od dva moguća smjera na pravoj i to onim određenim od početne do krajnje tačke vektora (smjer)
Kako je dobro imati intuiciju i vizualizaciju šta su matematički objekti, ne možemo zanemariti formalne definicije tih objekata. Kada su objekti previše komplikovani, znati i moći primijeniti definicije mogu nas 'spasiti'.
Formalna definicija:Aditivnu Abelovu grupu [inlmath](V,+)[/inlmath] nazivaćemo vektorskim ili linearnim prostorom nad poljem [inlmath]K[/inlmath], ako je definisano spoljašnje množenje [inlmath]K\times V\longrightarrow V[/inlmath], koje svakom uređenom paru [inlmath](\alpha,v)\in{K\times V}[/inlmath] pridružuje element [inlmath]\alpha\cdot v\in V[/inlmath], a koje zadovoljava sljedeće uslove:
[inlmath]1.\;(\alpha\cdot\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v)\\
2.\;(\alpha+\beta)\cdot v=\alpha\cdot v+\beta\cdot v\\
3.\;\alpha\cdot(v\cdot w)=\alpha\cdot v+\alpha\cdot w\\
4.\;1\cdot v=v[/inlmath]
Za svaki [inlmath]\alpha,\beta\in K[/inlmath], i svaki [inlmath]v,w\in V[/inlmath].
Prisjetimo se da je vektorski prostor [inlmath]V[/inlmath] neprazan skup koji zadovoljava dugačku listu aksioma. Vektorski prostor je mjesto gdje možemo sabirati i skalarno množiti vektore. Potprostor od [inlmath]V[/inlmath] je podskup od [inlmath]V[/inlmath] koji takođe zadovoljava sve te aksiome.
Trivijalni potprostori su [inlmath]\{0\}[/inlmath] i [inlmath]V[/inlmath].
Potprostor od [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] je ili koordinatni početak, ili prava kroz koordinatni početak (ili sam [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath]). Potprostor od [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] je ili koordinatni početak, ili prava koja sadrži koordinatni početak, ili ravan koja sadrži koordinatni početak (ili sam [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath]). Ne možemo sve vektorske prostore vizualizovati u [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] ili [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath], postoje mnogo komplikovaniji. Tada u igru ulazi formalna definicija.
Slobodni vektori čine vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.
Skup matrica [inlmath]M_{mn}(K)[/inlmath] u odnosu na sabiranje matrica i množenje elemenata iz [inlmath]K[/inlmath] je vektorski prostor.
Skup polinoma [inlmath]K_n[x][/inlmath], stepena [inlmath]\le n[/inlmath], zajedno sa nula polinomom, je vektorski prostor u odnosu na sabiranje i množenje elementima polja [inlmath]K[/inlmath]. U odnosu na ove operacije i skup svih polinoma [inlmath]K[x][/inlmath] je vektorski prostor nad [inlmath]K[/inlmath].
Skup kompleksnih brojeva je vektorski prostor i nad poljem realnih i nad poljem racionalnih brojeva. Realni brojevi imaju strukturu vektorskog prostora nad poljem racionalnih brojeva.
Aditivna grupa polja [inlmath]K[/inlmath] je vektorski prostor nad [inlmath]K[/inlmath].
Ako je [inlmath]V[/inlmath] vektorski prostor nad poljem [inlmath]K[/inlmath], onda elemente iz [inlmath]V[/inlmath] zovemo vektorima, a elemente iz [inlmath]K[/inlmath] skalarima.
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life