Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Matrice, determinante...

Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod zlatna ribica » Nedelja, 18. Jun 2017, 22:51

Data je kvadratna matrica [inlmath]A[/inlmath] reda [inlmath]n[/inlmath],
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}\qquad[/dispmath] Dokazati da postoje dva sopstvena vektora matrice [inlmath]A^TA[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov [inlmath]x_2=\cdots=x_n[/inlmath], a zatim naci sopstvene vrednosti tih vektora.

Moja ideja je da prvo uradim transponovanje date matrice, zamenom kolona i redova, a zatim da je pomnozim sa datom matricom. Dalje me buni dokaz vezan za ispunjavanje ovog uslova... da li neko ima ideju kako da resim to, kako bih odredila sopstvene vrednosti? :roll:
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod Daniel » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 09:25

Izračunaj prvo proizvod [inlmath]A^TA[/inlmath] (dobijenu matricu nazovimo [inlmath]B[/inlmath]). Njen sopstveni vektor biće matrica [inlmath]n\times1[/inlmath], a zbog uslova [inlmath]a_2=\cdots=a_n[/inlmath] možeš taj sopstveni vektor napisati kao [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath].
I onda postaviš uslov [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath], izmnožiš, uočiš u kakvoj su vezi [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]\lambda[/inlmath]...
Hajde, napiši šta dobiješ, pa po potrebi nastavljamo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod zlatna ribica » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 19:02

Najpre da ispravim samu sebe, umesto ove tri tackice na jednom mestu ide nula, ja se izvinjavam na tome.
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Dobila sam da je
[dispmath]A^T=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Dalje, kad ovo pomnozim sa datom matricom, zbunim se jer ne znam da li je dobro ovako racunati to:
[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
4 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Ne deluje mi bas kao logicno ovo sto dobijam, posto prvi put mnozim matrice reda [inlmath]n[/inlmath].
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod Daniel » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 22:26

zlatna ribica je napisao:Najpre da ispravim samu sebe, umesto ove tri tackice na jednom mestu ide nula, ja se izvinjavam na tome.
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath]

Ne, ne, dobro je bilo onako kako je bilo napisano, ovo sad ne valja. :) Na osnovu poslednje kolone, ovako kako si je sad napisala, zaključilo bi se (pogrešno) da matrica ima samo pet vrsta. :) Zato ipak moraju da stoje te tri tačke po vertikali, umesto nule.

zlatna ribica je napisao:[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
4 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath]

Biće da ovo nisi dobro otkucala u Latexu, verovatno si htela da otkucaš sledeće:
[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
4 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] i to je skoro pa tačan rezultat, samo što umesto četvorke u gornjem levom ćošku treba da stoji [inlmath]n[/inlmath] (red matrice), tj.
[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
\color{red}n & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Ovaj tvoj rezultat, s četvorkom, bio bi tačan samo za slučaj da je red matrice jednak [inlmath]4[/inlmath].

E, dobro, idemo sad dalje. Treba, znači, da postaviš jednačinu [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath], gde je [inlmath]x[/inlmath] sopstveni vektor matrice (koji je po uslovu zadatka oblika [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath]), dok je [inlmath]\lambda[/inlmath] sopstvena vrednost matrice. Dakle, uvrsti u tu jednačinu dobijenu vrednost za [inlmath]B[/inlmath], kao i [inlmath]x=\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath], pa reci šta dobijaš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod zlatna ribica » Utorak, 20. Jun 2017, 14:05

Isla sam danas da se konsultujem sa profesorom oko zadatka. Ovaj deo do sad je dobar, s tim sto mi je rekao da je vektor zapravo [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}[/inlmath] umesto ovoga [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath]. Da li ja mogu sad po dijagonali da oduzmem samo [inlmath]\lambda[/inlmath] posto je jednacina [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath] ekvivalentna sa [inlmath](B-\lambda I)x=0[/inlmath], gde je [inlmath]I[/inlmath] zapravo jedinicna matrica, a zatim da odatle izrazim [inlmath]\lambda[/inlmath]?
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod Daniel » Utorak, 20. Jun 2017, 16:27

zlatna ribica je napisao:s tim sto mi je rekao da je vektor zapravo [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}[/inlmath] umesto ovoga [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath].

Nisam siguran da si dobro razumela profesora. Sopstveni vektor matrice treba da bude kolona-matrica, tj. matrica formata [inlmath]n\times1[/inlmath] i profesor ti je verovatno rekao da ona treba da izgleda ovako:
[dispmath]\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix}[/dispmath] a pošto je ovakav oblik, kao što vidiš, nezgodan za zapis unutar teksta, zbog toga se unutar teksta ona zapisuje kao [inlmath]\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^T[/inlmath].

zlatna ribica je napisao:Da li ja mogu sad po dijagonali da oduzmem samo [inlmath]\lambda[/inlmath] posto je jednacina [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath] ekvivalentna sa [inlmath](B-\lambda I)x=0[/inlmath], gde je [inlmath]I[/inlmath] zapravo jedinicna matrica, a zatim da odatle izrazim [inlmath]\lambda[/inlmath]?

Možeš i tako, ali nisam siguran da time sebi nešto skraćuješ postupak. U svakom slučaju ne gine još jedno množenje matrica.
Izmnoži to (na koji god način ti je lakše), pa da vidimo šta se dobija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod zlatna ribica » Utorak, 20. Jun 2017, 20:23

Kad idem po ovom drugom principu, dobijam [inlmath](1-\lambda)^3(n-\lambda)^3=0[/inlmath]. Samo sam oduzela [inlmath]\lambda[/inlmath] po dijagonali jer smo mi tako radili kod nas na fakultetu, kad smo radili sopstvene vektore
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod zlatna ribica » Sreda, 28. Jun 2017, 00:30

Moram da korigujem svoj prethodni post posto nije tacan :crazy: :crazy:
Ako pomnozim matrice, dobijam sistem jednacina:
[dispmath](n-\lambda)a+(n-1)b=0\\
a+(1-\lambda)b=0[/dispmath] Kada determinantu ovog sistema izjednacim sa nulom, dobijam
[dispmath]\lambda^2-(n+1)\lambda+1=0[/dispmath] Resenja ove kvadratne jednacine su
[dispmath]\lambda_1=\frac{n+1+\sqrt{n^2+2n-3}}{2}\\
\lambda_2=\frac{n+1-\sqrt{n^2+2n-3}}{2}[/dispmath] Ako dobijena resenja vratim u drugu jednacinu, dobijam resenja za vektore
[dispmath]a_1=b\begin{bmatrix}
\frac{n+\sqrt{n^2+2n-3}-1}{2}\\
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}[/dispmath] a resenja za drugi vektor su
[dispmath]a_2=b\begin{bmatrix}
\frac{n-\sqrt{n^2+2n-3}-1}{2}\\
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}[/dispmath] Razumem veliku guzvu oko prijemnih ispita, ali ako je neko voljan da proveri da li sam dobro uradila sad, bila bih mnogo zahvalna :D
 
Postovi: 72
Zahvalio se: 24 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Matrice i sopstveni vektori – numericka analiza

Postod Daniel » Sreda, 05. Jul 2017, 19:22

Sve OK, to je to. :correct:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs